凹凸と第2次導関数
“第2次導関数の符号＝曲線が曲がる向き。”
数式
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩読み方: 第2次導関数が正なら曲線は下に凸（∪）、負なら上に凸（∩）
- f''(x)
- — 2回微分したもの（第2次導関数）
- ∪
- — 下に凸（カップ型）
- ∩
- — 上に凸（キャップ型）
きっかけ
もう1回微分すれば、曲線がどちら向きに「曲がっている」かがわかる。
やさしく言うと
第2次導関数f''は傾きの変化率です。その符号によって、曲線がカップ型（∪）に曲がっているかキャップ型（∩）に曲がっているかがわかります。
直感
傾き自体が増えている（f''>0）なら、曲線は上向きに曲がってカップ型（∪）になります。傾きが減っている（f''<0）ならキャップ型（∩）です。f''は「傾きの傾き」です。
どう作られるか
1回微分すると傾き（f'）、もう1回微分するとその傾きがどう変化するか（f''）がわかります。符号が正なら下に凸、負なら上に凸、符号が反転する場所が変曲点です。
例
f(x)=x³の場合、f''(x)=6x。x=1ではf''=6>0なので下に凸、x=−1ではf''=−6<0なので上に凸です。符号はx=0で反転し、そこが変曲点です。
よくある誤解
「下に凸（∪）」を単に「凹」と呼んでしまう誤りがよくあります。また、f''=0だけでは変曲点とは限りません——実際に符号が変わる必要があります。
どこで使うか
臨界点が最大か最小かを判定する（第2次導関数判定法）、グラフの正確な形、経済学における限界効用逓減など。
どこから来たか
曲率（どれだけ鋭く曲がっているか）という発想はニュートンとライプニッツにさかのぼり、第2次導関数はその曲率の符号を読み取るシンプルな道具となりました。
前提概念
確認問題
f(x)=x²の第2次導関数f''(x)はいくつですか？
- 2x
- 2✓
- 0
- x²
練習
f(x)=x³のf''(2)はいくつですか？
答え: 12
- f'(x)=3x²
- f''(x)=6x
- x=2を代入 → 12
ポイント: 2回微分すると第2次導関数が得られる。
f(x)=x⁴のf''(1)はいくつですか？
答え: 12
- f'(x)=4x³
- f''(x)=12x²
- x=1を代入 → 12
ポイント: f''>0なので、x=1付近で曲線は下に凸。
f(x)=x³−3x²の変曲点のx座標を求めなさい。
答え: undefined
- f'(x)=3x²−6x
- f''(x)=6x−6
- 0とおく：6x−6=0 → x=1（その前後で符号が反転するので変曲点）
ポイント: 変曲点はf''=0で符号が変わる場所。