2次関数
“2次関数は放物線 — その頂点は頂上か底のどちらか。”
数式
y = a(x − p)² + q読み方: 頂点(p, q)を持つ放物線
- a
- — 開く向き（符号）と広がり方（大きさ）
- (p, q)
- — 放物線の頂点 — 最大値または最小値の点
- x
- — 入力する値
きっかけ
1次関数が直線なら、2次関数は放物線 — まさに投げたボールが描く曲線。
やさしく言うと
y = a(x−p)² + q。グラフは放物線で、頂点(p, q)がその『とがった先端』（最大値または最小値の点）。
直感
a>0なら上に開いたお椀（∪）なので、頂点は『最も低い点』。a<0なら下に開いた山（∩）なので、頂点は『最も高い点』。|a|が大きいほど、細くて急な形になる。
どう作られるか
y=ax²+bx+cの形を平方完成で整理すると、y=a(x−p)²+qになり、頂点(p,q)が見えてくる。pは対称軸の位置、qはそこでの高さ。
例
y=x²−2x−3 = (x−1)²−4。頂点は(1,−4)。a=1>0なので上に開いた放物線で、最も低い点は(1,−4)。y切片は−3（x=0のとき）。
よくある誤解
aの符号を見逃すと、最大と最小が入れ替わってしまう — a>0なら最小値（底）、a<0なら最大値（頂上）を持つ。頂点のx座標も紛らわしい、(x−p)ではpを使うので注意。
どこで使うか
パラボラアンテナ、噴水が描く弧、面積や利益が最大になる問題 — 『どこが最大・最小か』を問う瞬間、2次関数が答える。
どこから来たか
投げたものの軌道がまさにこの曲線であるとガリレオが示したことで、放物線は物理学と手を結んだ。
前提概念
確認問題
y = (x − 2)² + 3の頂点は？
- (2, 3)✓
- (−2, 3)
- (2, −3)
- (3, 2)
練習
y = x²で、x = 3のときyは？
答え: 9
- y = 3²
- = 9
ポイント: 2次関数もxひとつにつきyがひとつ決まる。
y = (x − 1)² − 4の頂点のx座標は？
答え: 1
- 頂点の形a(x−p)²+qでは、pがx座標
- (x − 1)²からp = 1
ポイント: (x − p)では、pが頂点のx座標。
y = x² − 4x + 3の頂点のx座標は？
答え: 2
- 対称軸 x = −b/(2a) = −(−4)/(2·1)
- = 4/2 = 2
ポイント: 頂点のx座標は−b/2aから直接求まる。
y = x² − 4x + 3を平方完成して頂点を求めよう。
答え: undefined
- x² − 4x = (x − 2)² − 4
- y = (x − 2)² − 4 + 3 = (x − 2)² − 1
- 頂点(2, −1)
ポイント: 平方完成すれば頂点がすぐに見えてくる。