代数
18 個の概念
2x + 3変数と式
『ある数を2倍して3を足す』を、文字 x を使って 2x+3 と短く書いたもの。
ax + b = 0 → x = −b/a1次方程式
xがある1つの値のときだけ成り立つ等式。その値を見つけることが「方程式を解く」ことです。
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂連立一次方程式
2つの未知数を同時に満たす、ただ一組の (x, y) を見つけること。答えを1点に絞るには2本の方程式が必要です。
ax + b > 01次不等式
xがある値より大きい、または小さいという主張。答えは1つの数ではなく「範囲」になります。
y = ax + b1次関数とそのグラフ
xを入れるとy＝「aかけるx足すb」が出てくる規則。グラフに描くと必ず直線になります。
(a + b)² = a² + 2ab + b²乗法公式
(a+b)² は a²+b² ではありません。真ん中に 2ab が入り込み、a²+2ab+b² になります。
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)因数分解
x²+5x+6のような式を、(x+2)(x+3)のような「2つの式の積」に変えることです。展開のちょうど逆の操作です。
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)2次方程式
x²を含む方程式ax²+bx+c=0のこと。解は多くても2つで、a, b, cを解の公式に代入すれば必ず求まる。
y = a(x − p)² + q2次関数
y = a(x−p)² + q。グラフは放物線で、頂点(p, q)がその『とがった先端』（最大値または最小値の点）。
y = aˣ ⇔ x = logₐ y指数関数と対数関数
aˣはaを自分自身でx回かけ合わせたもの。logₐ yは逆に「aを何回かけるとyに届くか」を尋ねます。指数と対数は互いを打ち消し合います。
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹等差数列と等比数列
等差数列は前の項に一定の数dを毎回足し、等比数列は前の項に一定の数rを毎回かけます。
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2シグマ記号と数列の和
Σは『下の値から上の値まで代入して、すべて足せ』という命令。Σₖ₌₁ⁿ kは1からnまでの和。
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ行列
行列は数を行と列に並べたものです。2つの行列を掛けるには、「左の行」と「右の列」を対にして、掛けて足し合わせます。
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ二項定理
(a+b)ⁿを展開すると、各項の係数はₙCₖ——n個の括弧のうちk個からbを選ぶ方法の数——になります。
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)線形変換
線形変換は、平面（や空間）のすべての点を動かしながら、格子線をまっすぐで等間隔のままに保ち、原点を固定します。この整然とした動きは、たった1つの行列で完全に表せます。
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0固有値と固有ベクトル
変換Aを施すと、ほとんどのベクトルは向きがずれてしまいます。しかし特定の特別なベクトルvは向きを保ったまま、倍率λでスケールされるだけです。このようなvを固有ベクトル、倍率λをその固有値と呼びます。
u, v ∈ V, a, b ∈ ℝ ⟹ a·u + b·v ∈ Vベクトル空間
ベクトル空間とは、要素どうしを足しても実数倍しても外に出てしまわない集合のことです。この2つの演算がいくつかの自然なルールに従うだけでよいのです。
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bc行列式
2×2行列[[a,b],[c,d]]の行列式はad − bcです。この数は、行列がどんな図形の面積を何倍にするかを表します。
アプリで学び続けよう
触って動かすウィジェット、自己採点の練習、毎日の数式——iOS・Androidで無料。