代数methodfoundations
因数分解
“因数分解とは「定数にかけて、係数に足す」2つの数を見つけることです。”
数式
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)読み方: 1次の係数に足して、定数項になる2つの数でグループ分けする
- a + b
- — xの係数 = 2つの数の和
- ab
- — 定数項 = 2つの数の積
- (x + a)(x + b)
- — 因数分解された積の形
きっかけ
因数分解は乗法公式を逆から読むこと——展開された式を「積」に巻き戻す作業です。
やさしく言うと
x²+5x+6のような式を、(x+2)(x+3)のような「2つの式の積」に変えることです。展開のちょうど逆の操作です。
直感
面積がx²+5x+6になる長方形の「縦と横」を復元するようなものです。定数6にかけて5に足す2つの数（2と3）を見つければ完了です。
どう作られるか
x²+(a+b)x+abの形では、「中央の係数に足して、定数にかける」2つの数a, bを見つけます。すると(x+a)(x+b)に因数分解できます。符号も合わせましょう。
例
x²+5x+6：6にかけて5に足す2つの数は2と3 → (x+2)(x+3)。かけ戻すと確かにx²+5x+6になります。
よくある誤解
符号を見失いやすいです——x²−5x+6は+6にかけて−5に足すので、−2と−3、つまり(x−2)(x−3)です。また、最初に共通因数をくくり出すのを忘れないように（2x²+6xの中の2x）。
どこで使うか
2次方程式を解く最速の方法であり、分数の約分や複雑な式を整理する万能ツールです。
どこから来たか
「因数」への分解は、数を素因数に分ける古代からの伝統を、文字を含む式へと広げたものです。
前提概念
確認問題
x² − 9を因数分解しなさい。
- (x + 3)(x − 3)✓
- (x − 3)²
- (x + 9)(x − 1)
- (x + 3)²
練習
x² + 7x + 12を因数分解しなさい。
答え: 0
解き方:
- 12にかけて7に足す2つの数：3と4
- (x + 3)(x + 4)
ポイント: 積 = 定数、和 = 1次の係数。
x² − x − 6を因数分解しなさい。
答え: undefined
解き方:
- −6にかけて−1に足す2つの数：−3と2
- (x − 3)(x + 2)
ポイント: 定数が負なら、2つの数の符号は逆になります。
2x² + 6xを因数分解しなさい。
答え: undefined
解き方:
- まず共通因数2xをくくり出す
- 2x(x + 3)
ポイント: 共通因数は必ず最初にくくり出しましょう。