連立一次方程式
“解とは、2本の直線が交わるただ1つの点のこと。”
数式
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂読み方: 2つの一次方程式を同時に満たす、ただ一組の (x, y) を求める
- x, y
- — 同時に求める2つの未知数
- a₁, b₁, a₂, b₂
- — 各方程式の係数
- (x, y)
- — 2本の直線が交わる点＝解
きっかけ
未知数が2つあると、方程式1本だけでは足りません——2つの条件が重なる、ただ1点を探すゲームです。
やさしく言うと
2つの未知数を同時に満たす、ただ一組の (x, y) を見つけること。答えを1点に絞るには2本の方程式が必要です。
直感
それぞれの一次方程式は平面上の直線です。2本の直線が交わる座標こそが解——両方の条件を同時に満たす、ただ1つの場所です。
どう作られるか
道は2つ。加減法：方程式どうしを足し引きして片方の未知数を消す。代入法：一方の式を y=… の形に整理し、そのままもう一方に代入する。どちらも、未知数を1つに絞り込むのが鍵です。
例
x+y=5, x−y=1。足すと 2x=6 → x=3。x=3 を戻すと y=2。組 (3,2) が両方の式を満たします。
よくある誤解
解が必ず1つとは限りません——2本の直線が平行なら交わらず（解なし）、完全に重なれば無数の解があります。
どこで使うか
大人と子どもの入場券、2種類の商品の値段、速さと時間のように、2つの絡み合ったものを解きほぐすときに使えます。
どこから来たか
未知数を消去して解くという発想は2000年前の中国『九章算術』にすでに登場し、行列のような表の形でまとめられています。
前提概念
確認問題
x + y = 10, x − y = 2 のとき、x はいくつ？
- 4
- 6✓
- 8
- 10
練習
x + y = 7, x − y = 3 のとき、x を求めよ。
答え: 5
- 2つの式を足して y を消す：2x = 10
- x = 5
ポイント: 加減法：足し引きして片方の未知数を消す。
y = 2x, x + y = 9 のとき、y を求めよ。
答え: 6
- 代入：x + 2x = 9 → 3x = 9 → x = 3
- y = 2·3 = 6
ポイント: 代入法：片方の未知数をそのままもう一方の式に入れる。
2x + y = 7 と x + y = 4 を解き、両方の式で答えを確かめよ。
答え: undefined
- 上から下を引く：(2x+y) − (x+y) = 7 − 4 → x = 3
- x + y = 4 に代入：y = 1
- 確認：2·3+1 = 7 ✓, 3+1 = 4 ✓
ポイント: 求めた (x, y) は『両方』の式を満たしていなければならない。