代数conceptfoundations
1次方程式
“方程式を解くとは「天秤を傾けずにxをひとりぼっちにする」こと。”
数式
ax + b = 0 → x = −b/a読み方: xの1次方程式の解はx = −b/a（a ≠ 0）
- x
- — 解いて求める未知数
- a, b
- — 与えられた数（a ≠ 0）
- x = −b/a
- — 方程式を成り立たせるただ1つの値
きっかけ
方程式は謎かけです——「どんなxならこの天秤は釣り合うか？」
やさしく言うと
xがある1つの値のときだけ成り立つ等式。その値を見つけることが「方程式を解く」ことです。
直感
天秤を思い浮かべてください。両側に同じものを足す、引く、掛ける、割るなら天秤は釣り合ったままです。これを使ってxを片側にひとりぼっちにすれば、答えが見えてきます。
どう作られるか
ax+b=0の形をしています。bを反対側に移項し、両辺をaで割るとx=−b/aが得られます。移項とは実は「両辺から同じ数を引く」ことの近道です。
例
2x−6=0 → 6を右辺へ移項：2x=6 → 両辺を2で割る：x=3。検算：2·3−6=0、成立。
よくある誤解
移項するとき符号は反転します——+6は反対側に移ると−6になります。符号をそのまま持っていってしまうのが一番よくあるミスです。
どこで使うか
「ある条件から未知の1つの値を逆算する」問題ならなんでも——お釣り、年齢、速さ、濃度。これらすべての骨組みです。
どこから来たか
「代数（algebra）」という言葉は、9世紀のアル＝フワーリズミーの著書のタイトルにある「アル＝ジャブル」に由来し、これはまさに項を移して整える規則そのものでした。
前提概念
確認問題
4x + 12 = 0の解は何ですか？
- −3✓
- 3
- −12
- 12
練習
x + 5 = 12を解きなさい。
答え: 7
解き方:
- 5を右辺へ移項：x = 12 − 5
- x = 7
ポイント: 移項すると符号が反転する。
3x − 4 = 2x + 5を解きなさい。
答え: 9
解き方:
- xと数をそれぞれ集める：3x − 2x = 5 + 4
- x = 9
ポイント: 未知数は片側に、数は反対側に。
2(x − 1) = x + 4を解きなさい。
答え: 6
解き方:
- 展開：2x − 2 = x + 4
- 移項：2x − x = 4 + 2
- x = 6
ポイント: まずかっこを展開してから移項する。
ある数の3倍に4を足すと19になる。方程式を立てて数を求めなさい。
答え: undefined
解き方:
- その数をxとすると：3x + 4 = 19
- 3x = 15
- x = 5
ポイント: 文章を方程式に翻訳することが勝負の半分。