代数conceptfoundations
1次関数とそのグラフ
“1次関数は直線であり、傾きは「どれくらい急か」を表す。”
数式
y = ax + b読み方: 傾きa、y切片bの直線
- a
- — 傾き——xが1増えるとyがどれだけ増えるか
- b
- — y切片——x = 0のときのyの値（出発点の高さ）
- x
- — 入力される値
きっかけ
y=ax+bはただの直線です——傾きaが「どれくらい急か」を、bが「どこから始まるか」を決めます。
やさしく言うと
xを入れるとy＝「aかけるx足すb」が出てくる規則。グラフに描くと必ず直線になります。
直感
aは階段の急さです——xが1増えるたびにyがaだけ上がります。bは出発点の高さ（x=0のときのy）です。この2つさえわかれば直線は完全に決まります。
どう作られるか
aは傾き＝（yの変化量）/（xの変化量）です。bはy切片、つまり直線がy軸と交わる高さです。aが正なら右上がり、負なら右下がりの直線になります。
例
y=2x−1。x=0,1,2のとき、yは−1,1,3。xが1増えるたびにyは2増える——傾きはちょうど2です。
よくある誤解
傾きaと切片bを取り違えやすいので注意。y=3x−2では3が傾き、−2が出発点の高さで、3ではありません。
どこで使うか
電話プラン（基本料金＋使用料）、一定速度での移動距離、気温の変化——「一定の割合で変化する」あらゆる関係の基本モデルです。
どこから来たか
方程式とグラフを結びつける座標平面は1600年代にデカルトが作り出したもので、方程式がついに「絵」になった瞬間でした。
前提概念
確認問題
1次関数y = 3x − 2の傾きは何ですか？
- 3✓
- −2
- 2
- −3
練習
y = 2x + 1で、x = 3のときyはいくつ？
答え: 7
解き方:
- y = 2·3 + 1
- = 7
ポイント: xを入れると、直線上の点yが出てくる。
y = −2x + 5で、x = 1のときyはいくつ？
答え: 3
解き方:
- y = −2·1 + 5
- = 3
ポイント: 傾きが負だとxが増えるにつれてyは下がる。
点(1, 2)と(3, 8)を通る直線の傾きはいくつ？
答え: 3
解き方:
- 傾き = （yの変化量）/（xの変化量） = (8 − 2)/(3 − 1)
- = 6/2 = 3
ポイント: 傾きは2点間の上昇量を横移動量で割ったもの。