座標平面上の距離
“座標距離の公式は、そのままピタゴラスの定理です。”
数式
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)読み方: 2点間の距離は、横方向の差の2乗と縦方向の差の2乗を足したものの平方根
- x₂ − x₁
- — 2点間の横方向(x)の差
- y₂ − y₁
- — 2点間の縦方向(y)の差
- d
- — 2点を結ぶ線分の長さ(直線距離)
きっかけ
格子上の2点間の距離は、実はそのままピタゴラスの定理です。
やさしく言うと
2点の横方向の差と縦方向の差を求めると直角三角形ができ、2点を結ぶ線分がその斜辺になります。だから距離は√(横²+縦²)です。
直感
2点の間に階段を描いてみましょう——横に(x₂−x₁)、縦に(y₂−y₁)進みます。この2辺は直角に交わり、求めたい「まっすぐな」距離はその斜辺です。距離の公式は形を変えたピタゴラスの定理なのです。
どう作られるか
①横方向の差x₂−x₁、②縦方向の差y₂−y₁。③それぞれを2乗して足すと斜辺の2乗、④平方根をとると距離。2乗すると符号が消えるので、どちらの点から引いても構いません。
例
(0, 0)と(3, 4)の距離:横の差3、縦の差4 → √(3² + 4²) = √25 = 5。おなじみの3-4-5の直角三角形です。
よくある誤解
2乗する前に引き算を忘れたり、xとy同士ではなくxとyを混ぜて計算すると狂います。また2乗で符号が消えるので、(x₁−x₂)の順で引いても結果は同じです。
どこで使うか
地図アプリでの2地点間の直線距離、ゲームキャラクター同士の距離、データ分析での2点の「近さ」の測定など、座標があるあらゆる場面で使われます。
どこから来たか
デカルトが図形を座標に載せた(解析幾何学)ことで、かつて定規とコンパスで測っていた距離が計算で求められるようになりました。
前提概念
確認問題
点(0, 0)と(6, 8)の間の距離はいくつですか?
- 10✓
- 14
- 48
- 100
練習
点(1, 1)と(4, 5)の間の距離はいくつですか?
答え: 5
- 横の差:4 − 1 = 3、縦の差:5 − 1 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25
- = 5
ポイント: まず横と縦の差を求めれば、あとはピタゴラスの定理そのものです。
点(2, 3)と(2, 7)の間の距離はいくつですか?
答え: 4
- 横の差:2 − 2 = 0、縦の差:7 − 3 = 4
- d = √(0² + 4²) = √16 = 4
ポイント: xが同じなら2点は縦方向にしか差がない——yの差だけで決まります。
(0, 0)と(2, 2)の間の距離を近似値で求めなさい。
答え: 2.83
- 横の差2、縦の差2
- d = √(2² + 2²) = √8 = 2√2
- 2√2 ≈ 2.83
ポイント: きれいな値にならない距離は無理数——近似値で答えます。