2次方程式
“2次方程式の解は、放物線がx軸と出会う場所。”
数式
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)読み方: 2次方程式の2つの解は、a, b, cを解の公式に代入すれば求まる
- a, b, c
- — x²、x、定数項の係数（a ≠ 0）
- b² − 4ac
- — 判別式 — 解の個数を決める
- ±
- — 2つの解を一度に与える符号
きっかけ
因数分解できない2次方程式もある — そんなときに常に使えるのが、万能な解の公式。
やさしく言うと
x²を含む方程式ax²+bx+c=0のこと。解は多くても2つで、a, b, cを解の公式に代入すれば必ず求まる。
直感
y=ax²+bx+cのグラフは放物線。それがx軸と交わるx座標が、まさに方程式の解 — 2回交わるなら解は2つ、接するなら解は1つ、交わらなければ実数解はなし。
どう作られるか
因数分解できるなら『2つの括弧のどちらかが0になる』を使って手早く解く。できないなら解の公式を使う。根号の中のb²−4ac（判別式）が解の個数を教えてくれる — 正なら2つ、0なら1つ、負なら実数解なし。
例
x²−2x−3=0 → (x−3)(x+1)=0 → x=3またはx=−1。積が0になるには、どちらかの括弧が0でなければならないから。
よくある誤解
『どちらかの因数が0なら積は0』は、もう一方の辺が0のときにしか使えない — (x−1)(x−2)=6にはそのまま使えない（まず0に整理する）。また判別式が負なら（実数の）解は存在しない。
どこで使うか
投げたものの高さ、面積が決まった土地の辺の長さ、利益が最大になる点 — 2乗が現れた瞬間、2次方程式が姿を見せる。
どこから来たか
解の公式の根っこは古代バビロニアの面積の問題までさかのぼり、完全な代数的公式は多くの文明を経て磨き上げられた。
前提概念
確認問題
x² − 5x + 6 = 0の2つの解は？
- 2と3✓
- −2と−3
- 1と6
- 2と−3
練習
x² − 4 = 0の正の解を求めよう。
答え: 2
- x² = 4
- x = 2またはx = −2
- 正の解は2
ポイント: x²=kからは±√kが出る — 両方の符号を忘れずに。
x² − 7x + 10 = 0の大きい方の解を求めよう。
答え: 5
- かけて+10、足して−7になる2数：−2と−5 → (x − 2)(x − 5) = 0
- x = 2またはx = 5
- 大きい方の解は5
ポイント: 因数分解できれば、公式を使わず手早く解ける。
x² − 6x + 9 = 0の解（重解）を求めよう。
答え: 3
- (x − 3)² = 0
- x = 3（2つの解が一致する）
ポイント: 完全平方は1つの重解を持つ（判別式0）。
x² + 2x − 1 = 0を解の公式で解こう。
答え: undefined
- a=1、b=2、c=−1 → b²−4ac = 4 + 4 = 8
- x = (−2 ± √8)/2 = (−2 ± 2√2)/2
- x = −1 ± √2
ポイント: 因数分解できないときも、公式は必ず答えを出してくれる。