二項定理
“二項定理の係数はただの組み合わせ——パスカルの三角形。”
数式
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ読み方: (a+b)をn回かけて展開すると、各項の係数は組み合わせₙCₖになる
- ₙCₖ
- — 二項係数——aⁿ⁻ᵏbᵏの項の前につく数
- aⁿ⁻ᵏ bᵏ
- — aをn−k回、bをk回使った項
- n
- — 括弧を何回かけるか（べき指数）
きっかけ
(a+b)¹⁰を手で展開する必要はない——各項の係数が「組み合わせ」だとわかれば、一行で展開できる。
やさしく言うと
(a+b)ⁿを展開すると、各項の係数はₙCₖ——n個の括弧のうちk個からbを選ぶ方法の数——になります。
直感
(a+b)ⁿは(a+b)をn回書き並べてかけたものです。展開するとは、各括弧からaかbのどちらかを選び、すべての積を足し合わせることです。bがちょうどk回選ばれる方法の数はₙCₖなので、aⁿ⁻ᵏbᵏの係数はₙCₖになります。係数は最初から「選び方の数」だったのです。
どう作られるか
べきnを固定すると、項はaⁿ, aⁿ⁻¹b, …, bⁿで、指数の和は常にnです。係数ₙC₀, ₙC₁, …, ₙCₙはパスカルの三角形のちょうど1行——各項が真上の2つの和になっている行——そのものです。
例
(a+b)² = ₂C₀a² + ₂C₁ab + ₂C₂b² = 1·a² + 2ab + 1·b²。係数1, 2, 1はパスカルの三角形の3行目です。
よくある誤解
(a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿです。組み合わせの係数を持つ中間の交差項は必ず現れます。(a+b)²でさえ、2abを落とせば誤りです。
どこで使うか
確率における二項分布の計算、(1+x)ⁿの近似、代数式の展開、組み合わせの恒等式——確率統計と代数をつなぐ橋。
どこから来たか
係数を「パスカルの三角形」として並べる方法は、パスカル以前に中国（楊輝）やペルシャで知られていました——文明を越えて受け継がれた知恵です。
前提概念
確認問題
(a+b)³の展開で、a²bの係数はいくつですか？
- 1
- 2
- 3✓
- 6
練習
(a+b)⁴の展開でa²b²の係数を求めなさい。
答え: 6
- bが2回選ばれる方法：₄C₂
- = (4·3)/(2·1) = 6
ポイント: 係数はₙCₖ、kはbの指数。
(1+x)⁵の展開でx²の係数を求めなさい。
答え: 10
- xが2回選ばれる方法：₅C₂
- = (5·4)/(2·1) = 10
ポイント: (1+x)ⁿではxᵏの係数はₙCₖ。
(a+b)⁴のすべての係数の和を求めなさい。（ヒント：a=b=1とする）
答え: 16
- a=b=1を代入：(1+1)⁴
- = 2⁴ = 16
ポイント: 係数の和はa=b=1のとき→2ⁿ。
(a+b)³の係数1, 3, 3, 1がパスカルの三角形とどうつながるか説明しなさい。
答え: undefined
- パスカルの三角形では各項が真上の2つの和になる
- 1,2,1の隣り合う項を足すと1,3,3,1になる
- その行がちょうど(a+b)³の係数
ポイント: 二項係数はパスカルの三角形の1行にあたる。