代数conceptfoundations
1次不等式
“不等式の答えは点ではなく範囲——負の数で割ると向きが反転する。”
数式
ax + b > 0読み方: 1次式が0より大きい（または小さい）となるxの範囲を求める
- a, b
- — 与えられた数（a ≠ 0）
- >
- — 不等号——負の数を掛けたり割ったりすると向きが反転する
- x
- — 条件を満たす値の範囲
きっかけ
方程式は「ちょうどこの値」を探しますが、不等式は「それより大きい、または小さい範囲全体」を探します。
やさしく言うと
xがある値より大きい、または小さいという主張。答えは1つの数ではなく「範囲」になります。
直感
答えは数直線上の一点ではなく、一方向へ伸びる半直線です。x>2なら、2より右のすべてが解になります。
どう作られるか
方程式とほぼ同じように移項して整理しますが、一つだけ例外があります。両辺に「負の数」を掛けたり割ったりすると、不等号の向きが反転します。
例
2x−4>0 → 2x>4 → x>2。数直線上では、2より右の領域全体が答えです。
よくある誤解
定番の落とし穴は、負の数で割るときに符号を反転させ忘れることです。−2x>4を−2で割るとx<−2になります（>が<に変わる）。
どこで使うか
条件を満たす値の「範囲」を設定する場面——「少なくともこれだけ稼ぐ」「いくつまで買えるか」「安全な範囲」など。
どこから来たか
記号<と>は1600年代にイギリスのハリオットが初めて使い、「先が細い方が小さい」という直感のおかげで定着しました。
前提概念
確認問題
−2x + 6 < 0の解は何ですか？
- x > 3✓
- x < 3
- x > −3
- x < −3
練習
x + 4 < 9の解は何ですか？
答え: 0
解き方:
- 4を移項：x < 9 − 4
- x < 5
ポイント: 正の数を移動させるだけなら不等号の向きは変わらない。
−3x ≥ 9の解は何ですか？
答え: 1
解き方:
- 両辺を−3で割る → 不等号が反転する
- x ≤ −3
ポイント: 負の数で割ると≥は≤に反転する。
5x − 2 < 3x + 6を解きなさい。
答え: undefined
解き方:
- xを集める：5x − 3x < 6 + 2
- 2x < 8
- x < 4
ポイント: 正の2で割れば向きは変わらない——負の数なら反転していた。