相似
“相似は『形は同じ、大きさは違う』こと — その大きさの違いが相似比。”
数式
a : a' = b : b' = c : c' = k読み方: 対応する辺の比はすべて等しい — その一定の比kが相似比
- a, b, c / a', b', c'
- — 2つの図形の対応する辺
- k
- — 対応する辺の長さの比（相似比）
きっかけ
大きさが違っても『同じ形』であることを、数学はただひとつの比で正確にとらえる。
やさしく言うと
2つの図形が相似であるとは、対応する角がすべて等しく、対応する辺がすべて同じ倍率（k倍）になっていること。
直感
写真を拡大・縮小することを思い浮かべよう。すべての部分が同じ倍率で大きくなったり小さくなったりするので、形はそのまま保たれる。その『ひとつの一定な倍率』が相似比k。どれだけ拡大・縮小しても角度は変わらない。
どう作られるか
2つの軸に分かれる — ①対応する角がすべて等しい（形が保たれる）、②対応する辺の比がすべてkに等しい（大きさだけが変わる）。そして重要なことに、長さがk倍になると面積はk²倍になる。
例
相似比2の2つの三角形：小さい方の1辺が3なら、大きい方の対応する辺は6。面積は2倍ではなく2² = 4倍になる。
よくある誤解
相似比2は面積が2倍になることを意味しない。長さはk倍、面積はk²倍、体積はk³倍。この『kのべき乗』の違いはよく見落とされる。
どこで使うか
地図の縮尺、模型と実物の対応、影の長さから木の高さを測ること、画面の解像度の拡大 — 大きさが変わっても形が保たれるあらゆる場面。
どこから来たか
タレスは影の比を使ってピラミッドの高さを測ったと伝えられている — 相似の最古の記録とされる利用例。
前提概念
確認問題
相似比3の2つの図形の面積の比は？
- 3
- 6
- 9✓
- 27
練習
2つの三角形の相似比は2 : 3。小さい三角形の1辺が6なら、大きい三角形の対応する辺は？
答え: 9
- 対応する辺は一定の比2 : 3を保つ
- 6 : x = 2 : 3 → 2x = 18 → x = 9
ポイント: 対応する辺は常に同じ比を共有する — 比例式ひとつで解ける。
相似比1 : 4の2つの図形の面積の比は？
答え: 2
- 面積の比は相似比の2乗
- 1² : 4² = 1 : 16
ポイント: 面積は相似比の2乗 — 長さが4倍なら面積は16倍。
相似比1 : 2の2つの立方体の体積の比は？その理由をノートに書いてみよう。
答え: undefined
- 体積は相似比の3乗
- 1³ : 2³ = 1 : 8
- 長さ（1次元）はk倍、面積（2次元）はk²倍、体積（3次元）はk³倍だから
ポイント: 次元がひとつ上がるごとに、相似比の指数もひとつ増える。