合同な三角形
“3つの条件を一致させれば、2つの三角形は同一になります。”
数式
△ABC ≅ △DEF読み方: 三角形ABCと三角形DEFは合同——大きさも形も同じで、ぴったり重なる
- ≅
- — 合同を表す記号——完全に重ね合わせられる
- △ABC, △DEF
- — 対応する頂点の順に書いた2つの三角形
きっかけ
3辺と3角すべてを測る必要はありません。3つの要素さえ一致すれば、2つの三角形は完全に同一だとわかります。
やさしく言うと
2つの三角形が合同であるとは、一方を回転や裏返しで他方にぴったり重ねられることです。対応する辺と角がすべて等しくなります。
直感
三角形は「頑固な」形です。3辺の長さを固定すると、形はぐらつく余地なくただ一通りに決まります(橋やタワーの骨組みに三角形が使われるのはこのためです)。決まり方が3通りあるので、合同条件も3つあります。
どう作られるか
3つの条件——SSS(3辺)、SAS(2辺とその間の角)、ASA(1辺とその両端の2角)。どれか一つを確認すれば残りは自動的に成り立ちます。ポイントは位置関係——「間の角」「両端の角」です。
例
2辺が5cmと7cmで、その間の角がどちらも60°なら(SAS)、他を測らなくても2つの三角形は合同です。
よくある誤解
3つの角が等しければ合同に思えますが違います。AAAは形は同じでも大きさが違いうる「相似」であって合同ではありません。また、間にない角が等しいSSAは2通りの三角形ができてしまうため、合同条件にはなりません。
どこで使うか
図形証明の基本道具であり、測量・製図・部品の規格など、「同じものを作る、あるいは確かめる」あらゆる場面の土台になります。
どこから来たか
ユークリッドの『原論』はすでにSAS・ASA・SSSを合同条件として定めており、2000年以上にわたって図形証明の出発点であり続けています。
確認問題
次のうち三角形の合同条件でないものはどれですか?
- 3辺が等しい(SSS)
- 2辺とその間の角が等しい(SAS)
- 3角が等しい(AAA)✓
- 1辺とその両端の角が等しい(ASA)
練習
2つの三角形は4と6という等しい2辺を持ち、その間の角も等しい。これはどの合同条件ですか?
答え: 1
- 等しいのは辺・角・辺(2辺とその間の角)
- この並びはまさにSAS
ポイント: 角が2辺の「間」にあるとき、それはSASです。
3つの角が等しい2つの三角形は必ず合同ですか?違うなら、代わりに何と呼ぶかメモしなさい。
答え: undefined
- 角が等しくても大きさが等しいとは限らない
- 例:小さい正三角形と大きい正三角形——角はどちらも60°だが大きさが違う
- したがって合同ではなく相似
ポイント: 角が等しければ形は決まりますが、大きさは自由——それが相似です。
1辺とその両端の2角が等しい2つの三角形は合同ですか?条件の名前も答えなさい。
答え: undefined
- 1辺とその両端の2角を固定すると、三角形はただ一通りに決まる
- これがASA条件
- したがって合同である
ポイント: 1辺とその両端の角(ASA)が三角形をただ一つに定めます。