円の弧とおうぎ形
“おうぎ形は「円全体×自分の一切れの割合（θ/360）」。”
数式
π r² × (θ / 360)読み方: おうぎ形の面積は円全体の面積に、中心角が占める割合（θ/360）をかけたもの
- r
- — 円の半径
- θ
- — おうぎ形の中心角（度数）
- θ / 360
- — おうぎ形が円全体に占める割合
きっかけ
おうぎ形は要するに「ピザの一切れ」——自分の一切れが全体のどれだけの割合かさえわかればいい。
やさしく言うと
おうぎ形は円の一部です。中心角θが一回転（360°）のうちのある割合を占め、その同じ割合だけ円全体の面積（または円周）を受け取ります。
直感
ピザ全体をイメージしてください。中心角90°は一回転の4分の1なので、面積も弧の長さもちょうど全体の4分の1になります。θ/360はまさに「自分の一切れが占める割合」です。
どう作られるか
2つの部分から成ります——①円全体の量（面積πr²、円周2πr）、②あなたの一切れの割合θ/360。それをかけ合わせます：おうぎ形の面積 = πr²·(θ/360)、弧の長さ = 2πr·(θ/360)。
例
半径6、中心角90°のおうぎ形：面積 = π·6²·(90/360) = 36π·(1/4) = 9π。弧の長さ = 2π·6·(1/4) = 3π。
よくある誤解
半径の代わりに直径を代入したり、θ/360の係数を忘れて円全体の面積を答えてしまいがちです。まず「どれだけの割合か」をしっかり押さえましょう。
どこで使うか
ピザやパイの一切れ、時計の針が掃く面積、円形トラック・扇風機・羽根の設計——円の一部が現れる場面ならどこでも使われます。
どこから来たか
アルキメデスは円を無限に細かく分割することで円の面積πr²を求めました。おうぎ形はその円を角度の割合で分ける自然な延長です。
確認問題
半径6、中心角90°のおうぎ形の面積はいくつですか？（πの倍数で答えなさい）
- 3π
- 6π
- 9π✓
- 36π
練習
半径6、中心角90°のおうぎ形の弧の長さはいくつですか？πの係数で答えなさい（例えば3πなら3と答える）。
答え: 3
- 弧の長さ = 2πr × (θ/360) = 2π·6 × (90/360)
- = 12π × (1/4) = 3π
- πの係数は3
ポイント: 弧の長さは「円周2πr」に一切れの割合をかけたもの。
半径5の円全体の面積はいくつですか？πの係数で答えなさい。
答え: 25
- 円の面積 = πr² = π·5²
- = 25π
- πの係数は25
ポイント: 中心角が360°（一回転）のとき、おうぎ形は円全体になる。
半径4、中心角90°のおうぎ形の面積を、πの係数で求めなさい。また、円全体のどれだけの割合かをノートに書きなさい。
答え: 4
- 90°は360°の1/4
- 面積 = π·4² × (1/4) = 16π × (1/4) = 4π
- πの係数は4
ポイント: まずθ/360で「どれだけの割合か」を押さえれば計算は簡単になる。