三角関数
“三角関数は、円をぐるぐる回る点の高さと幅。”
数式
sin²θ + cos²θ = 1読み方: 単位円上の点の縦座標が sinθ、横座標が cosθ であり、それらの2乗の和は常に1になる
- sinθ
- — 単位円上の点の縦座標（高さ）
- cosθ
- — 単位円上の点の横座標（底辺）
- tanθ
- — sinθ/cosθ——その点までの直線の傾き
きっかけ
三角関数は本当は『円をぐるっと回る点の影』——角度を入れると、高さ（sin）と幅（cos）が飛び出してきます。
やさしく言うと
半径1の円上で角度θだけ回転した点の、縦の位置が sinθ、横の位置が cosθ。tanθ はその比です。
直感
原点を中心に長さ1の定規を角度θだけ回転させると、先端の高さが sin、横にどれだけ動いたかが cos。θ が大きくなると点は円周を回り、両方の値が −1 から1の間を波打つ——だから三角関数は波になるのです。
どう作られるか
その点の座標は (cosθ, sinθ)。半径1の円上にあるので、三平方の定理より（横）²＋（縦）²＝1²、つまり sin²θ+cos²θ=1。すべての三角関数の恒等式はこの円1つから生まれます。
例
θ=30°のとき、sin30°=1/2、cos30°=√3/2。確認：(1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1。恒等式が正確に成り立ちます。
よくある誤解
sin²θ は (sinθ)² のことで、sin(θ²) ではありません。また sin(A+B) ≠ sinA + sinB——角度の中身にそのまま分配することはできません。
どこで使うか
音・光・電流の波、振り子やばねの揺れ、円運動、三角測量による距離の測定——回転し振動するすべてのものの数学。
どこから来たか
『サイン』はサンスクリット語で弓の弦を表す語（jya）にさかのぼり、アラビア語を経てラテン語 sinus（『湾、曲がり』）に誤訳されたまま名前が定着しました。
前提概念
確認問題
sin 30° はいくつ？
- 1/2✓
- √3/2
- 1
- 0
練習
sin 90° を求めよ。
答え: 1
- 90°は円の一番上、点 (0,1)
- 縦座標は1→sin 90° = 1
ポイント: sin は円上の点の『高さ』。
cos 60° を求めよ。
答え: 0.5
- 60°における横座標
- cos 60° = 1/2 = 0.5
ポイント: cos は円上の点の『幅』。
tan 45° を求めよ。
答え: 1
- tan 45° = sin45°/cos45° = (√2/2)/(√2/2)
- = 1
ポイント: 45°では高さと幅が等しいので、傾きは1。
θ=30°で sin²θ + cos²θ = 1 が成り立つことを計算で確かめよ。
答え: undefined
- sin30°=1/2、cos30°=√3/2
- (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4
- = 1
ポイント: この恒等式は、半径1の円における三平方の定理そのもの。