円の方程式
“円の方程式は「中心からの距離r」を三平方の定理で書いたものです。”
数式
(x − a)² + (y − b)² = r²読み方: 中心(a, b)から一定の距離rにある点(x, y)の集まりが円をつくる
- (a, b)
- — 中心の座標
- r
- — 半径——中心から円までの距離
- (x, y)
- — 円周上にある任意の点
きっかけ
円とは「1つの中心から等しく離れた点の集合」——円の方程式は、この一文を座標で書いただけのものです。
やさしく言うと
中心(a,b)からの距離が常にrである点(x,y)の集まりが円をつくります。この条件を方程式にすると(x−a)²+(y−b)²=r²になります。
直感
中心から点までの距離は、水平方向のずれ(x−a)と垂直方向のずれ(y−b)からつくられる直角三角形の斜辺です。三平方の定理よりその斜辺の2乗は(x−a)²+(y−b)²で、それをr²と等しく置くことが「距離がrである」ということです。
どう作られるか
必要なのは中心と半径の2つだけです。中心が原点(0,0)なら方程式はx²+y²=r²に簡単になります。中の符号に注意——中心が(2,−3)なら(x−2)²+(y+3)²になります。
例
中心(0,0)、半径5の円はx²+y²=25です。(3,4)を代入すると9+16=25→成り立つので、(3,4)はこの円上にあります。
よくある誤解
(x−a)²+(y−b)²=r²の右辺はr²であってrではありません。半径5の円の右辺は25であって5ではありません。また、中心の符号は方程式の中では逆になって現れます。
どこで使うか
GPSの位置測定（円の交わり）、レーダーの探知範囲、衝突判定、コンピュータグラフィックスの曲線——「中心から一定の距離」が関わるあらゆる場面。
どこから来たか
図形を座標と方程式で扱う解析幾何学は、デカルトが切り開きました。円の方程式は「計算で幾何の問題を解く」ことの代表例です。
前提概念
確認問題
中心(0,0)、半径3の円の方程式は何ですか？
- x² + y² = 3
- x² + y² = 6
- x² + y² = 9✓
- (x−3)² + y² = 0
練習
中心(1,2)、半径4の円について、右辺(r²)は何ですか？
答え: 16
- 右辺は半径の2乗
- r² = 4² = 16
ポイント: 右辺はrではなくr²です。
円x²+y²=25上で、点(3, y)の正のyを求めなさい。
答え: 4
- 3² + y² = 25 → 9 + y² = 25
- y² = 16 → y = 4 (y>0)
ポイント: 点を代入して所属を確認し、座標を求めます。
中心(2,−3)、半径√5の円について、(x−2)²+(y+3)²=の右辺は何ですか？
答え: 5
- 右辺 = r² = (√5)²
- = 5
ポイント: 無理数の半径でもr²はきれいな数になることがあります。
ある円は(0,0)と(6,0)を直径の両端に持ちます。中心と半径を求めなさい。
答え: undefined
- 中心は中点：((0+6)/2, 0) = (3,0)
- 半径は直径の半分：6/2 = 3
ポイント: 直径の中点が中心、直径の半分が半径です。