無理数と実数
“無理数は終わることも繰り返すこともない——どんな分数にも収まらない。”
きっかけ
√2を小数で書くと1.41421356…——終わりも規則もありません。分数では絶対に書き表せない数、無理数の登場です。
やさしく言うと
分数（整数/整数）で書ける数は有理数、書けない数は無理数。両方合わせて実数になります。
直感
数を小数として展開してみましょう。途中で終わる（0.5）か、同じかたまりが繰り返す（0.333…）なら有理数。終わりも繰り返しもなければ無理数です——√2やπ、円周率のように。
どう作られるか
実数は有理数（分数で書ける）と無理数（書けない）の2種類に分かれます。数直線上のすべての点は1つの実数に対応し、無理数は有理数と有理数の間の隙間を埋めています。
例
√2は無理数か？1.4²=1.96、1.5²=2.25なので、√2は1.4と1.5の間にあります。どれだけ桁を増やしてもぴったりとは一致せず、分数で書けないことも証明されています。
よくある誤解
√記号があるからといって自動的に無理数になるわけではありません。√9=3、√16=4は平方数なので有理数です。無理数になるのは√2や√3のように割り切れない根からです。
どこで使うか
円の周と面積（π）、対角線の長さ（√2）、自然な成長（e）——現実の形や自然を正確に測るには無理数が欠かせません。
どこから来たか
ピタゴラス学派は「すべての数は分数である」と信じていましたが、ヒッパソスが√2はそうでないことを示し、学派を揺るがしました。伝説では彼はそのために追放されたとされています。
前提概念
確認問題
次のうち無理数はどれですか？
- 0.5
- 1/3
- √2✓
- −4
練習
無理数を選びなさい。
答え: 2
- 1.5 = 3/2と2/7は分数 → 有理数
- √4 = 2 → 有理数
- √3 = 1.732…はぴったり収まらない → 無理数
ポイント: 平方数でない数の根が無理数を生む。
有理数を選びなさい。
答え: 2
- √2, √5, πは終わりも繰り返しもない → 無理数
- √9 = 3 → 有理数
ポイント: 中身が平方数なら、根は有理数へと整理される。
0.777…は有理数か？理由を書きなさい。
答え: undefined
- 数字の7が規則的に繰り返している（循環小数）
- 0.777… = 7/9、これは分数
- → 有理数
ポイント: 循環小数は分数で書けるので有理数である。
√2が分数で書けない（無理数である）理由を一言で説明しなさい。
答え: undefined
- √2 = 1.41421356…——小数は決して終わらない
- そしてどんな桁のかたまりも繰り返さない
- だから整数/整数の分数として書けない
ポイント: 終わることも繰り返すこともない小数＝無理数。