ベクトル
“ベクトルとは矢印——『どれくらい』と『どちらの向き』を合わせ持つもの。”
数式
|v| = √(x² + y²)読み方: ベクトルの大きさは、横成分 x と縦成分 y から作られる直角三角形の斜辺である
- v
- — ベクトル——大きさと向きの両方を持つ量
- (x, y)
- — ベクトルの成分（横方向と縦方向の量）
- |v|
- — ベクトルの大きさ（長さ）
きっかけ
速度、力、風——『どれくらい』だけでなく『どちらの向きに』も必要な量があります。それがベクトルです。
やさしく言うと
ベクトルは大きさと向きの両方を持つ矢印です。横に x、縦に y 動くことを (x,y) と書きます。
直感
ベクトルは『場所』ではなく『移動』です。どこから始めても、右に3、上に4進む矢印は同じベクトルです。2つのベクトルを足すとは、1本目の矢印の先端に2本目の矢印をつなげること——だから成分ごとに足せばよいのです。
どう作られるか
ベクトル (x,y) の大きさは原点からその点までの距離——直角三角形の斜辺なので、三平方の定理より √(x²+y²)。加法は成分ごとに行われます：(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂)。
例
v=(3,4) の大きさは √(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。右に3、上に4進む矢印の長さはちょうど5です。
よくある誤解
ベクトルの大きさは x+y ではありません。(3,4) の大きさは7ではなく5——これは対角線の長さなので、2乗して足してから根を取らなければなりません。
どこで使うか
物理での力、速度、加速度。ゲームのキャラクターの移動。航海の進路。3Dグラフィックス——『向きを持つ量』を扱うあらゆる場面で。
どこから来たか
ベクトルの考え方は19世紀の物理学（特に電磁気学）で力や速度を扱うために洗練され、ハミルトンとギブスが今日の記法を定めました。
前提概念
確認問題
ベクトル (3, 4) の大きさはいくつ？
- 5✓
- 7
- 12
- 25
練習
ベクトル (6, 8) の大きさを求めよ。
答え: 10
- √(6² + 8²) = √(36 + 64)
- = √100 = 10
ポイント: 大きさは成分を2乗して、足して、根を取る。
ベクトル (1, 2) + (3, 4) の x 成分を求めよ。
答え: 4
- 成分ごとに足す
- x 成分：1 + 3 = 4
ポイント: ベクトルの加法は成分ごとに行われる。
ベクトル (5, 0) の大きさを求めよ。
答え: 5
- √(5² + 0²) = √25
- = 5
ポイント: 軸に沿ったベクトルの大きさは、その成分そのものに等しい。
(−3, 4) が (3, 4) と同じ大きさを持つ理由を説明せよ。
答え: undefined
- |(−3,4)| = √((−3)² + 4²) = √(9+16) = 5
- 2乗すると符号が消える
- 違うのは向きだけで、長さは同じ
ポイント: 大きさは向き（符号）を無視して、長さだけを測る。