多角形の内角と外角
“多角形の角の和は「いくつの三角形に分かれるか」がすべて。”
数式
(n − 2) × 180°読み方: n角形のすべての内角を足すと、(n−2) × 180° になる
- n
- — 多角形の辺（または頂点）の数
- n − 2
- — 多角形が分割される三角形の数
- 180°
- — 三角形一つ分の内角の和
きっかけ
多角形がどれだけ複雑になっても、内角の和はたった一つの数——辺の数だけで決まります。
やさしく言うと
n角形の内角を足し合わせると (n−2) × 180° になります。そして凸多角形の外角の和は、常に360°です。
直感
一つの頂点から対角線を引いて、多角形を三角形に分割します。n角形は (n−2) 個の三角形に分かれます。三角形一つの内角の和は180°なので、全体の内角の和は180°を (n−2) 回足したものになります。
どう作られるか
①内角の和 = 三角形の数 (n−2) × 180°。②それぞれの外角は、頂点で曲がる角度なので、すべて足すとちょうど一周分 = 360°になります。この360°は辺の数にかかわらず成り立ちます。
例
五角形（n=5）の内角の和は (5−2) × 180° = 3 × 180° = 540°。正五角形なら、一つの角は 540° ÷ 5 = 108°です。
よくある誤解
外角の和が辺の数によって変わると思われがちですが、どんな凸多角形でも常に360°です。また (n−2) を (n−1) や n と間違えやすいので注意しましょう。
どこで使うか
タイル張り（テセレーション）、サッカーボールや建築の角度設計、正多角形の一つの角の計算——角度がぴったり合わなければならない設計に使われます。
どこから来たか
三角形の内角の和が180°であるというユークリッドの基本事実に、多角形を三角形に分割するという発想を組み合わせたものです。
確認問題
六角形（n=6）の内角の和はいくつですか？
- 540°
- 720°✓
- 900°
- 1080°
練習
八角形（n=8）の内角の和は何度ですか？
答え: 1080
- (n−2) × 180° = (8−2) × 180°
- 6 × 180° = 1080°
ポイント: 公式に n を当てはめるだけ——八角形は6個の三角形分です。
正五角形の一つの内角は何度ですか？
答え: 108
- 内角の和：(5−2) × 180° = 540°
- 正五角形は5つの角がすべて等しい：540° ÷ 5 = 108°
ポイント: 正多角形では、内角の和を辺の数で割ります。
正十二角形の一つの外角はいくつですか？まず、外角の和が常にいくつになるかをノートに書きましょう。
答え: 30
- 凸多角形の外角の和は常に360°
- 正十二角形は外角がすべて等しい：360° ÷ 12 = 30°
ポイント: 外角の方が簡単——常に360°になるので、辺の数で割るだけです。