군: 대칭의 언어
“군은 '되돌릴 수 있는 동작들의 모음' — 곧 대칭의 언어다.”
수식
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = e읽는 법: 집합 G와 연산 ∗이 닫힘·결합법칙·항등원·역원의 네 규칙을 만족하면 군이라 부른다
- a∗b ∈ G
- — 두 원소를 연산해도 결과가 G 안에 있음
- (a∗b)∗c = a∗(b∗c)
- — 묶는 순서가 결과를 바꾸지 않음
- a∗e = e∗a = a
- — 연산해도 상대를 그대로 두는 원소(0이나 1 같은)
- a∗a⁻¹ = e
- — 연산하면 항등원으로 되돌리는 짝
이야기의 시작
정수의 덧셈, 시계 산술, 정육면체 회전, 루빅스 큐브 — 전혀 다른 이들이 사실 같은 뼈대를 공유한다. 그 뼈대가 '군'이다.
쉬운 말로
군은 '집합 + 연산'인데, 그 연산이 네 규칙을 지킨다: (1) 결과가 밖으로 새지 않고(닫힘), (2) 묶는 순서가 무관하고(결합), (3) 아무것도 안 하는 항등원이 있고, (4) 모든 원소에 되돌리는 역원이 있다.
직관
군은 대칭의 언어다. 정사각형을 90°씩 돌리는 네 가지 회전을 생각하라 — 어떻게 이어 돌려도 결국 네 회전 중 하나(닫힘), 안 돌리는 것이 항등원, 반대로 돌리면 역원. 이 '되돌릴 수 있는 동작들의 모음'이 군이다. 물체를 바꾸지 않는 모든 조작이 군을 이룬다.
어떻게 만들어지나
네 공리가 부품이다. 닫힘이 '체계 안에 머물기'를, 항등원이 '기준점'을, 역원이 '되돌리기'를, 결합법칙이 '순서 걱정 없이 이어붙이기'를 보장한다. 이 최소한의 규칙만으로도 놀랍도록 풍부한 구조가 강제된다. 단, 교환법칙(a∗b=b∗a)은 요구하지 않는다.
예시
정수와 덧셈 (ℤ,+): 두 정수를 더하면 정수(닫힘), 0이 항등원, n의 역원은 −n, 결합법칙 성립 → 군이다. 시계 산술 {0,1,2,3}에 (mod 4 덧셈)도 군 — 3+3=6≡2로 안에 머물고, 각 원소가 짝을 가진다.
흔한 오해
군이라고 해서 교환법칙(a∗b=b∗a)이 성립하는 건 아니다. 예를 들어 3차원 회전이나 행렬 곱, 루빅스 큐브의 조작은 순서를 바꾸면 결과가 달라진다 — 그래도 어엿한 군이다.
어디에 쓰나
결정의 대칭(결정학), 소립자의 분류(입자물리 표준모형), 오류정정 부호와 RSA·타원곡선 암호, 루빅스 큐브 풀이, 방정식이 근호로 풀리는지 판정 — 대칭과 구조가 있는 곳마다 군이 숨어 있다.
어디서 왔나
20세 청년 갈루아가 1830년대에, 방정식이 왜 5차부터 근호로 안 풀리는지를 밝히려 군을 발명했다. 결투 전날 밤 이론을 급히 적어 남기고 이튿날 죽었다.
선행 개념
확인 문제
군 (ℤ,+) 에서 원소 5 의 역원은?
- 5
- −5✓
- 0
- 1/5
연습
군 (ℤ,+) 의 항등원은 무엇인가? (숫자로 답하라)
정답: 0
- 항등원 e는 a+e=a 를 만족
- a+0=a 이므로 e=0
핵심: 덧셈군의 항등원은 0, 곱셈군은 1.
정사각형의 회전 {0°, 90°, 180°, 270°} 는 이어붙이기 연산으로 군을 이룬다. 원소 개수는?
정답: 4
- 서로 다른 회전은 네 가지
- 따라서 위수(원소 개수)는 4
핵심: 군의 위수 = 원소의 개수.
군 Z₅ (mod 5 덧셈) 에서 원소 2 의 역원을 구하라.
정답: 3
- 2 + x ≡ 0 (mod 5) 인 x 를 찾는다
- 2 + 3 = 5 ≡ 0, 따라서 역원은 3
핵심: mod n 덧셈군에서 a의 역원은 n−a.
홀수 전체가 덧셈에 대해 군을 이루는지 판정하고 이유를 노트에 적어보라.
정답: undefined
- 홀수 + 홀수 = 짝수 → 결과가 밖으로 샌다(닫힘 위반)
- 항등원 0(짝수)도 집합에 없다
- 따라서 군이 아니다
핵심: 공리 하나만 깨져도 군이 아니다 — 닫힘부터 확인.