수와 연산
개념 21개
자릿값
같은 숫자라도 어느 자리에 있느냐에 따라 값이 달라진다는 약속.
분수의 뜻
전체를 똑같이 몇 조각으로 나눴는지(아래), 그중 몇 조각인지(위)를 함께 적은 수.
소수의 뜻
점(소수점) 오른쪽에 자리를 더 만들어, 1보다 작은 부분까지 자릿값으로 적는 수.
a/c ± b/c = (a ± b)/c분수의 덧셈과 뺄셈
조각의 크기(분모)가 같을 때는 조각 수(분자)만 더하거나 뺀다.
곱셈과 나눗셈
곱셈은 같은 수를 여러 번 더한 것, 나눗셈은 똑같이 나누거나 몇 묶음인지 세는 것.
a : b = a ÷ b비와 비율
두 양을 견주어 '몇 대 몇'으로 나타낸 것이 비, 그것을 하나의 수(나눗셈)로 만든 것이 비율.
p = (a ÷ b) × 100백분율
전체를 100으로 놓았을 때 부분이 몇에 해당하는지를 나타낸 수. %는 '100 중에서'라는 뜻.
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ소인수분해
수 하나를 2, 3, 5, 7 같은 소수들의 곱으로만 쪼개어 쓴 것.
정수와 수직선
양의 정수·0·음의 정수를 한 줄 위에 순서대로 늘어놓은 것. 오른쪽으로 갈수록 커지고 왼쪽으로 갈수록 작아진다.
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)절댓값
어떤 수가 0에서 얼마나 멀리 있는지를 나타낸 값. 방향(부호)은 버리고 거리만 남긴다.
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)유리수의 사칙연산
정수와 분수를 더하고 빼고 곱하고 나누는 규칙. 핵심은 부호를 먼저 정하고, 그다음 숫자 크기를 계산하는 것.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ지수법칙
거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것. 그것들을 곱하거나 나누면 지수끼리 더하거나 빼면 된다.
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)제곱근
어떤 수를 제곱해서 a가 될 때, 그 어떤 수를 a의 제곱근이라 한다. √a는 그중 0 이상인 값.
무리수와 실수
분수(정수/정수)로 나타낼 수 있는 수가 유리수, 그럴 수 없는 수가 무리수. 둘을 합친 전체가 실수다.
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99순환소수
소수점 아래에서 같은 숫자 마디가 무한히 반복되는 소수. 반드시 분수로 되돌릴 수 있다.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b최대공약수와 최소공배수
최대공약수(GCD)는 두 수를 함께 나누는 가장 큰 수, 최소공배수(LCM)는 두 수의 배수 중 처음으로 겹치는 가장 작은 수.
i² = −1, z = a + bi복소수
제곱하면 −1이 되는 새 수 i를 도입하면, 모든 수는 실수부 a와 허수부 bi를 합친 a+bi 꼴로 쓸 수 있다. 이걸 복소수라 한다.
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = e군: 대칭의 언어
군은 '집합 + 연산'인데, 그 연산이 네 규칙을 지킨다: (1) 결과가 밖으로 새지 않고(닫힘), (2) 묶는 순서가 무관하고(결합), (3) 아무것도 안 하는 항등원이 있고, (4) 모든 원소에 되돌리는 역원이 있다.
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)합동식(모듈러 산술)
모듈러 산술은 어떤 수 n에서 한 바퀴 돌아 0으로 돌아오는 산술이다. 두 수가 n으로 나눈 나머지가 같으면 '합동'이라 하고 a ≡ b (mod n)으로 쓴다. 오직 나머지만 신경 쓴다.
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, e^(iπ) + 1 = 0복소평면과 오일러 공식
복소수 a+bi를 평면 위의 점(또는 화살표)으로 보면 복소평면이 된다. 오일러 공식 e^(iθ)=cos θ+i sin θ는, 복소지수 e^(iθ)가 그 평면에서 각 θ만큼 회전한 단위원 위의 점임을 말해준다. 즉 '허수 지수 = 회전'이다.
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|셀 수 있는 무한 — 무한에도 크기가 있다
어떤 무한집합의 원소에 1,2,3,…처럼 빠짐없이 번호를 매길 수 있으면 '셀 수 있는(가산) 무한'이다. 자연수, 정수, 유리수가 모두 여기 속한다. 그런데 실수는 그렇게 번호 매기는 것이 원리적으로 불가능하다 — 더 큰 무한이다.