최대공약수와 최소공배수
“공약수의 최대와 공배수의 최소는 한 짝으로 움직인다.”
수식
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b읽는 법: 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 곱하면, 두 수의 곱과 같다
- GCD(a, b)
- — 최대공약수 — 두 수를 동시에 나누는 가장 큰 수
- LCM(a, b)
- — 최소공배수 — 두 수의 공통 배수 중 가장 작은 수
- a × b
- — 두 수 자신의 곱
이야기의 시작
'가장 크게 공통으로 나누는 수'와 '가장 작게 공통으로 만나는 수' — 이 둘은 사실 짝을 이뤄 움직인다.
쉬운 말로
최대공약수(GCD)는 두 수를 함께 나누는 가장 큰 수, 최소공배수(LCM)는 두 수의 배수 중 처음으로 겹치는 가장 작은 수.
직관
소인수분해로 보면 선명하다. GCD는 두 수가 '공통으로 가진' 소인수만 모은 것, LCM은 두 수의 소인수를 '빠짐없이 다' 모은 것. 그래서 둘을 곱하면 원래 두 수의 곱이 된다.
어떻게 만들어지나
12=2²×3, 18=2×3². 공통으로 겹치는 최소만큼 → GCD=2×3=6. 각 소인수의 최대만큼 다 → LCM=2²×3²=36. 확인: 6×36=216=12×18.
예시
8과 12: 8=2³, 12=2²×3. 공통 부분 2²=4가 GCD. 넉넉히 다 담은 2³×3=24가 LCM. 4×24=96=8×12로 맞는다.
흔한 오해
최대공약수가 두 수 중 큰 수보다 클 수 없고, 최소공배수가 두 수보다 작을 수 없다. GCD ≤ 작은 수 ≤ 큰 수 ≤ LCM 순서를 기억하면 실수를 막는다.
어디에 쓰나
분수의 약분(GCD)과 통분(LCM), 톱니바퀴가 다시 맞물리는 시점, 물건을 남김없이 똑같이 나누기 등 실생활 문제에 바로 쓰인다.
어디서 왔나
두 수의 최대공약수를 빠르게 구하는 '유클리드 호제법'은 기원전 300년경 『원론』에 실린, 지금도 컴퓨터가 쓰는 가장 오래된 알고리즘이다.
선행 개념
확인 문제
12와 18의 최대공약수는?
- 2
- 3
- 6✓
- 36
연습
8과 12의 최대공약수는?
정답: 4
- 8 = 2³, 12 = 2² × 3
- 공통 소인수의 최소: 2² = 4
핵심: GCD는 공통 소인수만 최소만큼 모은다.
4와 6의 최소공배수는?
정답: 12
- 4 = 2², 6 = 2 × 3
- 모든 소인수의 최대: 2² × 3 = 12
핵심: LCM은 소인수를 빠짐없이 최대만큼 모은다.
15와 25의 최대공약수는?
정답: 5
- 15 = 3 × 5, 25 = 5²
- 공통 소인수: 5 → GCD = 5
핵심: 공통 소인수가 하나뿐이면 그게 곧 GCD.
12와 18의 최대공약수가 6일 때, GCD×LCM=a×b 로 최소공배수를 구하라.
정답: undefined
- GCD × LCM = a × b → 6 × LCM = 12 × 18 = 216
- LCM = 216 ÷ 6
- LCM = 36
핵심: GCD를 알면 LCM은 곱셈·나눗셈 한 번으로 나온다.