수와 연산methodfoundations

소인수분해

“소인수분해는 수를 소수 레고로 분해하는 것이다.”

수식

N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ

읽는 법: 어떤 수를 더 이상 쪼갤 수 없는 소수들의 곱으로만 나타낸 것

N: — 소인수분해하려는 자연수
p₁, p₂, …, pₖ: — 소인수 — 2, 3, 5, 7처럼 더 못 쪼개는 소수
a₁, a₂, …, aₖ: — 각 소인수가 몇 번 곱해졌는지(지수)

이야기의 시작

모든 자연수는 소수라는 '레고 블록' 몇 개의 곱으로 딱 한 가지 방법으로 쌓인다.

쉬운 말로

수 하나를 2, 3, 5, 7 같은 소수들의 곱으로만 쪼개어 쓴 것.

직관

수를 계속 반으로, 셋으로 나눠 내려가다 보면 더는 안 쪼개지는 소수만 남는다. 그게 그 수를 이루는 '재료'다. 재료 목록은 수마다 딱 하나뿐 — 이걸 소인수분해의 유일성이라 한다.

어떻게 만들어지나

2로 나눠지면 2로, 안 되면 3, 5, … 순서로 나눈다. 나눈 몫을 또 나누길 반복해 1이 될 때까지. 같은 소수가 여러 번 나오면 지수로 묶는다.

예시

60을 나눠 보자: 60÷2=30, 30÷2=15, 15÷3=5, 5÷5=1. 그래서 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.

흔한 오해

1은 소수가 아니다. 그래서 소인수분해에 1은 절대 쓰지 않는다. 또 4나 6처럼 더 쪼개지는 수는 소인수가 될 수 없다.

어디에 쓰나

약수의 개수 세기, 최대공약수·최소공배수 구하기, 분수 약분 — 수의 성질을 다루는 거의 모든 계산의 출발점이다.

어디서 왔나

'모든 수는 소수의 곱으로 유일하게 쓰인다'는 사실은 산술의 기본정리로 불리며, 유클리드의 『원론』에 이미 그 씨앗이 담겨 있다.

확인 문제

다음 중 12를 바르게 소인수분해한 것은?

2 × 6
2² × 3✓
3 × 4
2 × 3²

연습

36을 소인수분해하라. (지수로 묶어서)

정답: undefined

풀이:

36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

핵심: 작은 소수부터 차례로 나눠 1이 될 때까지 내려간다.

2³ × 5 는 어떤 수인가?

정답: 40

풀이:

2³ = 8
8 × 5 = 40

핵심: 소인수의 곱을 되돌리면 원래 수가 나온다.

90을 소인수분해했을 때 나오는 '서로 다른' 소인수는 몇 개인가?

정답: 3

풀이:

90 = 2 × 45 = 2 × 3² × 5
서로 다른 소인수는 2, 3, 5
→ 3개

핵심: 같은 소수는 여러 번 나와도 종류로는 한 번만 센다.

84를 소인수분해하라.