수학 개념
수식 하나씩 — 쉬운 뜻, 직관, 그리고 어디서 왔는지까지.
수와 연산
개념 21개자릿값
같은 숫자라도 어느 자리에 있느냐에 따라 값이 달라진다는 약속.
분수의 뜻
전체를 똑같이 몇 조각으로 나눴는지(아래), 그중 몇 조각인지(위)를 함께 적은 수.
소수의 뜻
점(소수점) 오른쪽에 자리를 더 만들어, 1보다 작은 부분까지 자릿값으로 적는 수.
a/c ± b/c = (a ± b)/c분수의 덧셈과 뺄셈
조각의 크기(분모)가 같을 때는 조각 수(분자)만 더하거나 뺀다.
곱셈과 나눗셈
곱셈은 같은 수를 여러 번 더한 것, 나눗셈은 똑같이 나누거나 몇 묶음인지 세는 것.
a : b = a ÷ b비와 비율
두 양을 견주어 '몇 대 몇'으로 나타낸 것이 비, 그것을 하나의 수(나눗셈)로 만든 것이 비율.
p = (a ÷ b) × 100백분율
전체를 100으로 놓았을 때 부분이 몇에 해당하는지를 나타낸 수. %는 '100 중에서'라는 뜻.
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ소인수분해
수 하나를 2, 3, 5, 7 같은 소수들의 곱으로만 쪼개어 쓴 것.
정수와 수직선
양의 정수·0·음의 정수를 한 줄 위에 순서대로 늘어놓은 것. 오른쪽으로 갈수록 커지고 왼쪽으로 갈수록 작아진다.
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)절댓값
어떤 수가 0에서 얼마나 멀리 있는지를 나타낸 값. 방향(부호)은 버리고 거리만 남긴다.
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)유리수의 사칙연산
정수와 분수를 더하고 빼고 곱하고 나누는 규칙. 핵심은 부호를 먼저 정하고, 그다음 숫자 크기를 계산하는 것.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ지수법칙
거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것. 그것들을 곱하거나 나누면 지수끼리 더하거나 빼면 된다.
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)제곱근
어떤 수를 제곱해서 a가 될 때, 그 어떤 수를 a의 제곱근이라 한다. √a는 그중 0 이상인 값.
무리수와 실수
분수(정수/정수)로 나타낼 수 있는 수가 유리수, 그럴 수 없는 수가 무리수. 둘을 합친 전체가 실수다.
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99순환소수
소수점 아래에서 같은 숫자 마디가 무한히 반복되는 소수. 반드시 분수로 되돌릴 수 있다.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b최대공약수와 최소공배수
최대공약수(GCD)는 두 수를 함께 나누는 가장 큰 수, 최소공배수(LCM)는 두 수의 배수 중 처음으로 겹치는 가장 작은 수.
i² = −1, z = a + bi복소수
제곱하면 −1이 되는 새 수 i를 도입하면, 모든 수는 실수부 a와 허수부 bi를 합친 a+bi 꼴로 쓸 수 있다. 이걸 복소수라 한다.
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = e군: 대칭의 언어
군은 '집합 + 연산'인데, 그 연산이 네 규칙을 지킨다: (1) 결과가 밖으로 새지 않고(닫힘), (2) 묶는 순서가 무관하고(결합), (3) 아무것도 안 하는 항등원이 있고, (4) 모든 원소에 되돌리는 역원이 있다.
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)합동식(모듈러 산술)
모듈러 산술은 어떤 수 n에서 한 바퀴 돌아 0으로 돌아오는 산술이다. 두 수가 n으로 나눈 나머지가 같으면 '합동'이라 하고 a ≡ b (mod n)으로 쓴다. 오직 나머지만 신경 쓴다.
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, e^(iπ) + 1 = 0복소평면과 오일러 공식
복소수 a+bi를 평면 위의 점(또는 화살표)으로 보면 복소평면이 된다. 오일러 공식 e^(iθ)=cos θ+i sin θ는, 복소지수 e^(iθ)가 그 평면에서 각 θ만큼 회전한 단위원 위의 점임을 말해준다. 즉 '허수 지수 = 회전'이다.
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|셀 수 있는 무한 — 무한에도 크기가 있다
어떤 무한집합의 원소에 1,2,3,…처럼 빠짐없이 번호를 매길 수 있으면 '셀 수 있는(가산) 무한'이다. 자연수, 정수, 유리수가 모두 여기 속한다. 그런데 실수는 그렇게 번호 매기는 것이 원리적으로 불가능하다 — 더 큰 무한이다.
대수
개념 18개2x + 3문자와 식
'어떤 수의 2배에 3을 더한 것'을 문자 x를 써서 2x+3 이라고 짧게 적은 것.
ax + b = 0 → x = −b/a일차방정식
x가 딱 하나의 값일 때만 참이 되는 등식. 그 값을 찾아내는 게 '방정식을 푼다'는 뜻.
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂연립일차방정식
x와 y, 두 미지수를 동시에 만족시키는 (x, y) 한 쌍을 찾는 것. 식이 둘 있어야 답이 하나로 정해진다.
ax + b > 0일차부등식
x가 어떤 값보다 크다/작다를 나타내는 식. 답이 하나가 아니라 '범위'로 나온다.
y = ax + b일차함수와 그래프
입력 x를 넣으면 'a배 하고 b를 더한' 값 y가 나오는 규칙. 그래프로 그리면 언제나 곧은 직선이다.
(a + b)² = a² + 2ab + b²곱셈공식
(a+b)²은 a²+b²이 아니라, 그 사이에 2ab가 끼어 a²+2ab+b²이 된다.
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)인수분해
x²+5x+6 같은 식을 (x+2)(x+3)처럼 '두 식의 곱'으로 바꾸는 것. 곱셈공식의 정확한 역방향이다.
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)이차방정식
x²이 들어간 방정식 ax²+bx+c=0. 해는 최대 두 개이고, 근의공식에 a·b·c만 넣으면 반드시 나온다.
y = a(x − p)² + q이차함수
y = a(x−p)² + q. 그래프는 포물선이고, 꼭짓점 (p, q)가 그 곡선의 '뾰족한 끝(최고점 또는 최저점)'이다.
y = aˣ ⇔ x = logₐ y지수함수와 로그함수
aˣ은 a를 x번 곱한 것, logₐ y는 'a를 몇 번 곱해야 y가 되나'를 되묻는 것. 둘은 지수와 로그로 서로를 뒤집는다.
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹등차수열과 등비수열
등차수열은 앞 항에 매번 같은 수 d를 더한 줄, 등비수열은 앞 항에 매번 같은 수 r을 곱한 줄이다.
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2시그마와 급수
Σ는 '아래 값부터 위 값까지 차례로 넣어 다 더하라'는 명령. Σₖ₌₁ⁿ k 는 1부터 n까지의 합이다.
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ행렬
행렬은 수를 가로줄(행)과 세로줄(열)로 배열한 것. 두 행렬의 곱은 '앞의 행'과 '뒤의 열'을 짝지어 곱해 더한다.
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ이항정리
(a+b)ⁿ을 전개했을 때 나오는 각 항의 계수는 ₙCₖ, 즉 'n개 괄호 중 b를 k번 고르는 경우의 수'다.
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)선형변환
선형변환은 평면(또는 공간)의 모든 점을 옮기되, 격자선을 직선으로, 균일한 간격으로, 원점은 고정한 채 유지하는 변환이다. 이 규칙적인 움직임은 행렬 하나로 완전히 표현된다.
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0고유값과 고유벡터
변환 A를 가하면 대부분의 벡터는 방향이 틀어진다. 하지만 어떤 특별한 벡터 v는 방향은 그대로 두고 길이만 λ배로 늘거나 줄어든다. 그런 v가 고유벡터, 배율 λ가 고유값이다.
u, v ∈ V, a, b ∈ ℝ ⟹ a·u + b·v ∈ V벡터공간 — 더하고 늘여도 안 벗어나는 세계
벡터공간은 원소를 서로 더하고 실수배 해도 결코 밖으로 튀어나가지 않는 집합이다. 이 두 연산(덧셈·스칼라배)이 몇 가지 자연스러운 규칙만 지키면 된다.
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bc행렬식 — 넓이가 몇 배로 늘어나는가
2×2 행렬 [[a,b],[c,d]]의 행렬식은 ad − bc. 이 숫자는 그 행렬이 도형의 넓이를 몇 배로 만드는지를 말해 준다.
기하
개념 16개각과 각도
한 점에서 뻗은 두 선(변)이 벌어진 정도. 그 크기를 '도(°)'로 잰다.
▭ S = a × b △ S = c × h ÷ 2넓이 — 직사각형과 삼각형
도형이 차지하는 평평한 공간의 크기. 1칸(단위 정사각형)이 몇 개 들어가는지로 잰다.
▭ P = 2 × (a + b) ⬛ P = 4 × a둘레
도형의 테두리를 따라 한 바퀴 돈 전체 길이. 모든 변의 길이를 더한 것.
V = a × b × c직육면체의 부피
입체가 차지하는 공간의 크기. 1cm짜리 정육면체가 몇 개 들어가는지로 잰다.
선대칭
어떤 선(대칭축)을 기준으로 접었을 때 양쪽이 완전히 포개지는 성질.
a² + b² = c²피타고라스 정리
직각삼각형에서 짧은 두 변을 각각 제곱해 더하면, 빗변을 제곱한 값과 정확히 같아진다.
△ABC ≅ △DEF삼각형의 합동
두 삼각형이 합동이라는 건, 돌리거나 뒤집어서 완전히 포갤 수 있다는 뜻이다. 대응하는 변과 각이 모두 같다.
a : a' = b : b' = c : c' = k닮음
두 도형이 닮았다는 건, 대응하는 각은 모두 같고 대응하는 변의 길이는 모두 같은 배율(k배)이라는 뜻이다.
(n − 2) × 180°다각형의 내각과 외각
n각형의 내각을 모두 더하면 (n−2) × 180°다. 그리고 볼록다각형의 외각을 모두 더하면 언제나 360°다.
π r² × (θ / 360)원의 호와 부채꼴
부채꼴은 원의 일부다. 중심각 θ가 한 바퀴(360°)에서 차지하는 비율만큼, 원 전체의 넓이(또는 둘레)를 잘라 가진 것이다.
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)좌표평면과 두 점 사이 거리
두 점의 가로 차이와 세로 차이를 각각 구해 직각삼각형을 만들면, 두 점을 잇는 선분은 그 빗변이다. 그래서 거리는 √(가로²+세로²)이 된다.
sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj삼각비
직각삼각형에서 한 예각 θ를 정하면, 세 변끼리의 길이의 비가 각의 크기만으로 정해진다. 그 비가 sin, cos, tan이다.
sin²θ + cos²θ = 1삼각함수
반지름 1인 원 위에서 각 θ만큼 돈 점의 세로 위치가 sinθ, 가로 위치가 cosθ. tanθ는 그 둘의 비다.
(x − a)² + (y − b)² = r²원의 방정식
중심 (a,b)에서 거리가 항상 r인 점 (x,y)들이 만드는 도형이 원. 그 조건을 식으로 쓴 것이 (x−a)²+(y−b)²=r².
|v| = √(x² + y²)벡터
벡터는 크기와 방향을 함께 지닌 화살표. 가로로 x, 세로로 y만큼 이동한 것을 (x,y)로 쓴다.
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ; |a×b| = |a||b|sinθ내적과 외적 — 얼마나 나란한가 vs 어디에 수직인가
내적 a·b는 두 벡터가 얼마나 나란한지를 재는 하나의 숫자다. 외적 a×b는 두 벡터가 이루는 평면에 수직으로 솟은 새 벡터다.
해석·미적분
개념 21개lim(n→∞) aₙ = L수열의 극한
수열의 번호 n을 무한히 키울 때, 항의 값이 어떤 한 수 L에 계속 가까워지면 L을 그 수열의 극한이라 한다.
lim(x→a) f(x) = L극한
x를 어떤 값 a로 점점 가까이 밀어넣을 때, 함수값이 어느 수로 몰려가는지를 본 것.
lim(x→a) f(x) = f(a)연속
다가가서 예상한 값(극한)과 실제로 그 점에 찍힌 값(함숫값)이 딱 일치하면, 그 점에서 끊김 없이 이어진다.
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h미분 — 순간의 기울기
두 점 사이 기울기(세로 변화 ÷ 가로 변화)를, 두 점을 무한히 붙여서 '한 점에서의 기울기'로 만든 것.
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹거듭제곱의 미분
xⁿ의 기울기 함수는, 지수 n을 계수로 앞에 곱하고 지수를 n−1로 낮춘 것이다.
(f·g)' = f'·g + f·g'곱의 미분법
두 함수의 곱을 미분하면, 한 번에 하나씩만 미분한 두 항을 더한다.
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)연쇄법칙
합성함수(함수 속의 함수)를 미분하면, 겉함수의 미분에 속함수의 미분을 곱한다.
f'(x) = 0극값 — 기울기가 0인 곳
미분한 식을 0으로 놓고 풀면, 접선이 수평이 되는 x가 나온다. 거기가 극대나 극소일 후보다.
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩볼록·오목과 이계도함수
이계도함수 f''는 기울기의 변화율이다. 그 부호가 곡선이 컵(∪)처럼 휘는지 모자(∩)처럼 휘는지를 알려준다.
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δx적분 — 넓이로 쌓기
곡선 아래 넓이를, 폭이 아주 좁은 직사각형 여러 개로 채우고 그 넓이를 모두 더한 것. 폭을 0으로 보내면 정확한 넓이가 된다.
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)정적분
구간 [a,b]에서의 넓이를, 리만 합 대신 원시함수 F를 찾아 F(b)−F(a)로 간단히 계산한다.
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)미적분의 기본정리
a부터 x까지 넓이를 쌓은 함수를 미분하면, 원래 함수 f(x)가 그대로 튀어나온다. 미분과 적분은 서로의 역이다.
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828자연상수 e
이자 100%를 잘게 나눠 계속 복리로 굴릴 때, 나누는 횟수를 무한히 늘리면 다가가는 수가 e ≈ 2.718이다.
ln x = y ⇔ eʸ = x자연로그 ln
ln x는 'e를 몇 제곱해야 x가 되는가'의 답이다. 즉 지수함수 eˣ의 역함수다.
d/dx eˣ = eˣ지수의 미분 — e^x은 자기 자신
eˣ의 기울기 함수는 다시 eˣ다. 즉 어떤 점에서든 그 점의 높이가 곧 그 점의 기울기다.
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²테일러 근사 — 곡선을 다항식으로
복잡한 함수를, 한 점 근처에서 값과 기울기와 휘어짐이 똑같아지도록 맞춘 간단한 다항식으로 근사한 것.
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < εε–δ 극한의 정의
상대가 아무리 작은 오차 ε을 불러도, 내가 그에 맞춰 입력 범위 δ를 좁혀서 f(x)를 L에 ε보다 더 가깝게 유지할 수 있으면, 극한이 L이다.
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1급수의 수렴
무한급수의 '합'이란 실제로 끝까지 더한 게 아니다. N개까지 더한 부분합을 만들고, N을 키울 때 그 값이 어떤 수 S로 다가가면 '급수가 S로 수렴한다'고 한다.
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂y편미분 — 한 방향만의 기울기
변수가 둘 이상인 함수에서, 관심 있는 변수 하나만 남기고 나머지는 잠시 상수로 얼려 버린 뒤, 평범한 미분을 한 것이다.
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy다중적분 — 부피를 얇게 쌓기
바닥 영역 R을 아주 작은 사각형들로 잘게 나누고, 각 칸의 넓이에 그 위 함수값(높이)을 곱해 기둥 부피를 만든 뒤, 전부 더한 것이다.
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)푸리에 급수 — 모든 파동은 순음의 합
주기적으로 반복되는 함수는 진동수가 정수배로 커지는 사인과 코사인들의 합으로 정확히 표현된다. 각 순음이 얼마나 들어가는지(계수 aₙ, bₙ)만 정하면 된다.
확률·통계
개념 14개N = m × n경우의 수
동시에 못 일어나는 일은 '더하고'(합의 법칙), 연달아 일어나는 일은 '곱한다'(곱의 법칙).
P(A) = a / n확률의 뜻
일어날 수 있는 경우를 똑같이 나눠 세고, 그중 내가 바라는 경우가 차지하는 비율이 확률이다.
P(Aᶜ) = 1 − P(A)여사건의 확률
어떤 일이 일어나지 않을 확률은, 전체 확률 1에서 그 일이 일어날 확률을 뺀 것이다.
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / n대푯값(평균·중앙값·최빈값)
평균은 다 더해 개수로 나눈 값, 중앙값은 크기순 한가운데 값, 최빈값은 가장 자주 나온 값이다.
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / n산포도(분산과 표준편차)
각 값이 평균에서 벗어난 거리(편차)를 제곱해 평균 낸 것이 분산, 그 제곱근이 표준편차다.
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)순열과 조합
n개 중 r개를 뽑을 때, 뽑은 순서까지 구별하면 순열(P), 순서는 무시하고 '누가 뽑혔나'만 보면 조합(C)이다.
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)조건부확률
어떤 사건 A가 이미 일어났다고 알 때, 그 조건 아래에서 B가 일어날 확률. 세상을 A로 좁힌 뒤 B를 따진다.
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ이항분포
성공 확률이 p로 일정한 시행을 독립적으로 n번 할 때, 성공이 k번 일어날 확률의 분포다.
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68정규분포
평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양 분포. 평균 근처에 자료가 가장 많고, 멀어질수록 급격히 드물어진다.
E(X) = Σ xᵢ pᵢ기댓값과 분산
어떤 값이 나올지 확률로 알 때, 각 값에 그 확률을 곱해 다 더한 것. 수없이 반복하면 수렴하는 '장기 평균'이다.
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)베이즈 정리
베이즈 정리는 새 증거를 보고 믿음을 갱신하는 법칙이다. 증거 B를 보기 전 A일 확률(사전확률)에, 'A라면 B가 나올 가능도'를 곱하고 전체 B 확률로 나누면, B를 본 뒤 A일 확률(사후확률)이 나온다.
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)큰 수의 법칙
큰 수의 법칙은, 같은 무작위 실험을 아주 여러 번 반복하면 그 결과들의 평균이 이론적 기댓값 μ에 점점 가까워진다는 법칙이다. 개별 결과는 예측 불가능해도, 평균은 예측 가능해진다.
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)중심극한정리
중심극한정리는, 원래 분포의 모양이 무엇이든 — 평평하든 치우쳤든 — 독립적인 표본을 많이 모아 평균(또는 합)을 내면 그 평균들의 분포가 정규분포(종 모양)에 가까워진다는 정리다.
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = π마르코프 연쇄 — 기억이 없는 이동
상태들 사이를 확률적으로 옮겨 다니는 과정인데, 다음 상태의 확률이 오직 현재 상태에만 의존하고 그 이전 경로에는 전혀 의존하지 않는다. 이 '기억 없음(무기억성)'이 마르코프 성질이다.
이산·논리
개념 4개n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)집합과 벤다이어그램
합집합의 원소 수는, 두 집합의 원소 수를 더한 다음 겹치는(교집합) 부분을 딱 한 번 빼면 된다.
(p → q) ≡ (~q → ~p)명제와 참·거짓
참·거짓을 분명히 가릴 수 있는 문장이 명제다. 'p이면 q이다' 같은 조건문은, 뒤집어 만든 대우와 늘 참·거짓이 같다.
G = (V, E), Σ(v∈V) deg(v) = 2|E|그래프 이론
그래프는 점(정점)들과 그 점을 잇는 선(변)들의 모임이다. 무엇이 서로 '연결되어 있는가'만 담고 위치·모양·거리는 버린다. 관계의 뼈대만 남긴 지도다.
[ P(1) ∧ ( P(k) ⟹ P(k+1) ) ] ⟹ ∀n ≥ 1, P(n)수학적 귀납법
수학적 귀납법은 '모든 자연수 n에서 참'인 명제를 증명하는 방법이다. (1) n=1에서 참임을 보이고(기초), (2) n=k에서 참이라 가정하면 n=k+1에서도 참임을 보이면(귀납), 도미노처럼 전부 참이 된다.