지수의 미분 — e^x은 자기 자신
“eˣ은 자기 자신이 자기 기울기인 유일한 곡선이다.”
수식
d/dx eˣ = eˣ읽는 법: eˣ는 미분해도 자기 자신 — 함수값이 곧 그 점의 기울기다
- eˣ
- — 밑이 e인 지수함수
- d/dx eˣ
- — 그 함수의 미분(=기울기)
- = eˣ
- — 미분해도 자기 자신 그대로
이야기의 시작
세상에서 가장 이상하고 아름다운 함수 — eˣ는 미분해도 자기 자신이다.
쉬운 말로
eˣ의 기울기 함수는 다시 eˣ다. 즉 어떤 점에서든 그 점의 높이가 곧 그 점의 기울기다.
직관
높이가 높을수록 더 가파르게 오르되, 정확히 자기 높이만큼 가파른 유일한 곡선. '지금 크기에 비례해 자라는' 성장을 완벽히 그린 함수라, 자연의 성장·붕괴가 전부 이 모양이다.
어떻게 만들어지나
e를 '밑'으로 고른 이유가 여기 있다. 어떤 지수함수 aˣ의 미분은 aˣ·ln a 인데, a=e일 때만 ln e=1 이라 계수가 딱 1이 되어 자기 자신이 된다.
예시
x=0에서 e⁰=1, 기울기도 1. x=1에서 e¹≈2.718, 기울기도 2.718. 어느 점을 봐도 높이=기울기.
흔한 오해
모든 지수함수가 자기 자신이 되는 건 아니다. 2ˣ의 미분은 2ˣ·ln2 (ln2≈0.693)라 자기 자신보다 작다. 계수 1을 만드는 밑은 오직 e.
어디에 쓰나
'변화율이 현재 값에 비례한다'는 미분방정식 y'=y 의 해가 바로 eˣ — 인구·이자·약물 농도·방사능의 표준 모형.
어디서 왔나
오일러가 e를 지수함수의 자연스러운 밑으로 세우면서, 이 '자기 미분' 성질이 e를 미적분의 주인공으로 만들었다.
선행 개념
확인 문제
d/dx eˣ 는?
- x·eˣ⁻¹
- eˣ✓
- x·eˣ
- 1
연습
d/dx eˣ 를 x=0 에서 구하면?
정답: 1
- 미분해도 eˣ 그대로
- x=0 대입 → e⁰ = 1
핵심: eˣ의 기울기는 곧 그 점의 높이.
y=e^(2x) 를 미분해 x=0 에서의 값을 구하라. (연쇄법칙)
정답: 2
- 겉 eᵘ → eᵘ ; 속 2x → 2
- y'=2·e^(2x)
- x=0 대입 → 2·1 = 2
핵심: e^(kx)의 미분은 k·e^(kx) — 앞에 k가 붙는다.
왜 2ˣ의 미분은 2ˣ이 아닌가? e와 무엇이 다른지 노트에 적어보라.
정답: undefined
- aˣ의 미분은 aˣ·ln a
- 2ˣ → 2ˣ·ln2, 그런데 ln2≈0.693≠1 이라 자기 자신이 아니다
- e만 ln e=1 이라 계수가 딱 1
핵심: e가 특별한 이유가 바로 이 계수 1이다.