자연상수 e
“e는 '자연스러운 성장'의 밑수다.”
수식
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828읽는 법: 1/n씩 n번 복리로 계속 불려 갈 때 다가가는 수, 약 2.718
- n
- — 복리로 나누는 횟수(무한히 크게)
- (1+1/n)ⁿ
- — n번 나눠 복리로 불린 값
- e
- — 그 극한값 ≈ 2.71828
이야기의 시작
π만큼 유명하지만 훨씬 덜 알려진 상수 e — 자연의 '성장'이 있는 곳엔 거의 언제나 숨어 있다.
쉬운 말로
이자 100%를 잘게 나눠 계속 복리로 굴릴 때, 나누는 횟수를 무한히 늘리면 다가가는 수가 e ≈ 2.718이다.
직관
1원에 연 100% 이자. 1년 뒤 한 번에 주면 2원. 반씩 두 번이면 (1.5)²=2.25원. 더 잘게 나눌수록 조금씩 커지지만, 아무리 잘게 나눠도 2.71828…을 넘지 못하고 그 값에 수렴한다.
어떻게 만들어지나
핵심 부품은 (1+1/n)ⁿ. 괄호 안은 '조금 불림(1+1/n)', 지수 n은 '그걸 n번 반복'. n을 키우면 이 둘이 팽팽히 겨루다 e에 안착한다.
예시
n=1 → 2, n=2 → (1.5)²=2.25, n=12 → 약 2.613, n=∞ → 2.71828…. 점점 커지지만 넘지 못하는 천장이 e다.
흔한 오해
e는 아무렇게나 고른 무리수가 아니다. '자기 자신을 미분해도 그대로'인 유일한 밑이라 자연에서 특별하게 튀어나온다.
어디에 쓰나
연속 복리·인구 성장·방사성 붕괴·냉각·확률(포아송) 등 '스스로의 크기에 비례해 변하는' 모든 현상.
어디서 왔나
야코프 베르누이가 복리 문제에서 이 극한을 만났고, 오일러가 이 수를 e로 표기하며 상수로 자리 잡았다.
선행 개념
확인 문제
자연상수 e의 근삿값은?
- 1.414
- 2.718✓
- 3.141
- 1.618
연습
(1+1/n)ⁿ 에서 n=1 일 때의 값은?
정답: 2
- (1+1/1)¹ = 2¹
- = 2
핵심: 복리를 한 번만 주면 e의 출발점 2.
(1+1/2)² 의 값은? (반씩 두 번 복리)
정답: 2.25
- 1+1/2 = 1.5
- 1.5² = 2.25
핵심: 더 잘게 나눌수록 2.718…에 조금씩 다가간다.
연 100% 이자를 반년마다 복리로 주면 1원은 1년 뒤 얼마가 되나? 무한복리(e)와 비교하라.
정답: undefined
- 반년마다 50%씩 두 번: (1.5)² = 2.25원
- 무한히 잘게 나누면 e ≈ 2.718원 — 그보다 작다
핵심: 복리를 잘게 쪼갤수록 이득이 늘지만 상한은 e배.