해석·미적분
개념 21개
lim(n→∞) aₙ = L수열의 극한
수열의 번호 n을 무한히 키울 때, 항의 값이 어떤 한 수 L에 계속 가까워지면 L을 그 수열의 극한이라 한다.
lim(x→a) f(x) = L극한
x를 어떤 값 a로 점점 가까이 밀어넣을 때, 함수값이 어느 수로 몰려가는지를 본 것.
lim(x→a) f(x) = f(a)연속
다가가서 예상한 값(극한)과 실제로 그 점에 찍힌 값(함숫값)이 딱 일치하면, 그 점에서 끊김 없이 이어진다.
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h미분 — 순간의 기울기
두 점 사이 기울기(세로 변화 ÷ 가로 변화)를, 두 점을 무한히 붙여서 '한 점에서의 기울기'로 만든 것.
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹거듭제곱의 미분
xⁿ의 기울기 함수는, 지수 n을 계수로 앞에 곱하고 지수를 n−1로 낮춘 것이다.
(f·g)' = f'·g + f·g'곱의 미분법
두 함수의 곱을 미분하면, 한 번에 하나씩만 미분한 두 항을 더한다.
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)연쇄법칙
합성함수(함수 속의 함수)를 미분하면, 겉함수의 미분에 속함수의 미분을 곱한다.
f'(x) = 0극값 — 기울기가 0인 곳
미분한 식을 0으로 놓고 풀면, 접선이 수평이 되는 x가 나온다. 거기가 극대나 극소일 후보다.
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩볼록·오목과 이계도함수
이계도함수 f''는 기울기의 변화율이다. 그 부호가 곡선이 컵(∪)처럼 휘는지 모자(∩)처럼 휘는지를 알려준다.
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δx적분 — 넓이로 쌓기
곡선 아래 넓이를, 폭이 아주 좁은 직사각형 여러 개로 채우고 그 넓이를 모두 더한 것. 폭을 0으로 보내면 정확한 넓이가 된다.
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)정적분
구간 [a,b]에서의 넓이를, 리만 합 대신 원시함수 F를 찾아 F(b)−F(a)로 간단히 계산한다.
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)미적분의 기본정리
a부터 x까지 넓이를 쌓은 함수를 미분하면, 원래 함수 f(x)가 그대로 튀어나온다. 미분과 적분은 서로의 역이다.
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828자연상수 e
이자 100%를 잘게 나눠 계속 복리로 굴릴 때, 나누는 횟수를 무한히 늘리면 다가가는 수가 e ≈ 2.718이다.
ln x = y ⇔ eʸ = x자연로그 ln
ln x는 'e를 몇 제곱해야 x가 되는가'의 답이다. 즉 지수함수 eˣ의 역함수다.
d/dx eˣ = eˣ지수의 미분 — e^x은 자기 자신
eˣ의 기울기 함수는 다시 eˣ다. 즉 어떤 점에서든 그 점의 높이가 곧 그 점의 기울기다.
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²테일러 근사 — 곡선을 다항식으로
복잡한 함수를, 한 점 근처에서 값과 기울기와 휘어짐이 똑같아지도록 맞춘 간단한 다항식으로 근사한 것.
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < εε–δ 극한의 정의
상대가 아무리 작은 오차 ε을 불러도, 내가 그에 맞춰 입력 범위 δ를 좁혀서 f(x)를 L에 ε보다 더 가깝게 유지할 수 있으면, 극한이 L이다.
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1급수의 수렴
무한급수의 '합'이란 실제로 끝까지 더한 게 아니다. N개까지 더한 부분합을 만들고, N을 키울 때 그 값이 어떤 수 S로 다가가면 '급수가 S로 수렴한다'고 한다.
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂y편미분 — 한 방향만의 기울기
변수가 둘 이상인 함수에서, 관심 있는 변수 하나만 남기고 나머지는 잠시 상수로 얼려 버린 뒤, 평범한 미분을 한 것이다.
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy다중적분 — 부피를 얇게 쌓기
바닥 영역 R을 아주 작은 사각형들로 잘게 나누고, 각 칸의 넓이에 그 위 함수값(높이)을 곱해 기둥 부피를 만든 뒤, 전부 더한 것이다.
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)푸리에 급수 — 모든 파동은 순음의 합
주기적으로 반복되는 함수는 진동수가 정수배로 커지는 사인과 코사인들의 합으로 정확히 표현된다. 각 순음이 얼마나 들어가는지(계수 aₙ, bₙ)만 정하면 된다.