해석·미적분conceptintermediate
미분 — 순간의 기울기
“미분은 그냥 '지금 이 순간의 기울기'다.”
수식
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h읽는 법: x가 아주 조금 변할 때, 함수값이 그 변화의 몇 배로 변하는지의 극한
- h
- — x의 아주 작은 변화량
- f(x+h)−f(x)
- — 그때 함수값이 변한 양
- lim(h→0)
- — 그 변화를 0에 한없이 가깝게 줄인 극한
이야기의 시작
미분은 어렵게 생겼지만, 실은 딱 하나 — '지금 이 순간 얼마나 가파른가'다.
쉬운 말로
두 점 사이 기울기(세로 변화 ÷ 가로 변화)를, 두 점을 무한히 붙여서 '한 점에서의 기울기'로 만든 것.
직관
곡선 위 한 점에 자를 살짝 대면 접선이 된다. 그 접선의 기울기가 미분값이다. 언덕의 '지금 경사'와 같다.
어떻게 만들어지나
분자 f(x+h)−f(x)는 '높이 변화', 분모 h는 '가로 변화' → 둘의 비가 기울기. h를 0으로 보내면 '순간'의 기울기가 남는다.
예시
f(x)=x²에서 x=1일 때: (1+h)²−1 = 2h+h², 이걸 h로 나누면 2+h, h→0이면 2. 즉 x=1에서 기울기는 2.
흔한 오해
'순간의 변화'는 변화가 0이라는 뜻이 아니다 — 0에 가까운 두 값의 '비'는 0이 아닌 값으로 수렴한다.
어디에 쓰나
속도(위치의 미분)·최적화(기울기 0인 곳이 최대/최소)·기계학습의 경사하강까지 전부 이 하나.
어디서 왔나
뉴턴과 라이프니츠가 17세기에 각자 만들었고, 표기법 dy/dx는 라이프니츠 것이 살아남았다.
선행 개념
확인 문제
f(x)=x²에서 x=3일 때 미분값(기울기)은?
- 3
- 6✓
- 9
- 0
연습
f(x)=x³ 에서 x=2 일 때 기울기는?
정답: 12
풀이:
- f'(x)=3x²
- x=2 대입 → 3·4 = 12
핵심: 미분값 = 그 점의 기울기. 공식 세우고 대입 한 번.
곡선 y=x²에서 접선의 기울기가 0이 되는 x는? 왜인지도 노트에 적어보라.
정답: undefined
풀이:
- y'=2x
- 기울기 0 → 2x=0 → x=0
- 곡선의 '바닥'에서 접선이 수평이라 기울기가 0
핵심: 기울기 0인 곳 = 함수의 꼭대기/바닥. 최적화의 씨앗.