극한
“극한은 도착이 아니라 '다가감'을 재는 자다.”
수식
lim(x→a) f(x) = L읽는 법: x를 a에 한없이 가까이 보낼 때 f(x)가 다가가는 값 L
- x→a
- — x가 a에 한없이 가까워짐 (같아지진 않음)
- f(x)
- — 그때의 함수값
- L
- — f(x)가 다가가는 값(극한값)
이야기의 시작
극한은 '거기에 도착'이 아니라 '거기로 다가가며 무엇이 되나'를 묻는다.
쉬운 말로
x를 어떤 값 a로 점점 가까이 밀어넣을 때, 함수값이 어느 수로 몰려가는지를 본 것.
직관
목적지에 실제로 닿지 않아도, 다가가는 길만 보면 도착지를 알 수 있다. 안개 속을 걸어도 표지판이 한 점을 가리키면 거기가 극한이다.
어떻게 만들어지나
핵심은 'x=a에서의 값'이 아니라 'x=a 근처에서의 행동'. 그 점이 구멍이어도, 양옆에서 다가가는 값이 같으면 극한은 존재한다.
예시
(x²−1)/(x−1)은 x=1에서 0/0이라 정의되지 않는다. 하지만 약분하면 x+1이고, x를 1에 가까이 보내면 값은 2로 몰려간다 → 극한은 2.
흔한 오해
극한값과 함숫값은 다를 수 있다. x=1에서 함수는 정의조차 안 되지만, 극한은 멀쩡히 2다.
어디에 쓰나
미분·적분·연속·무한급수 — 미적분 전체가 '극한'이라는 한 아이디어 위에 서 있다.
어디서 왔나
17세기엔 '무한히 작은 양'으로 얼버무렸지만, 19세기 코시·바이어슈트라스가 극한을 엄밀하게 정의하며 미적분의 기초를 다졌다.
선행 개념
확인 문제
lim(x→3) (x²−9)/(x−3) 의 값은?
- 0
- 3
- 6✓
- 9
연습
lim(x→2) (x²−4)/(x−2) 를 구하라.
정답: 4
- 분자 인수분해: x²−4 = (x−2)(x+2)
- 약분 → x+2 (x≠2)
- x=2 대입 → 4
핵심: 0/0이 나오면 약분해서 구멍을 메운 뒤 대입한다.
lim(x→0) (3x+1) 을 구하라.
정답: 1
- 이 함수는 어디서나 매끄럽게 이어짐
- 그냥 x=0 대입 → 1
핵심: 구멍이 없으면 극한은 그냥 대입값이다.
lim(x→0) 1/x 는 존재하는가? 왼쪽과 오른쪽에서 각각 어떻게 되는지 노트에 적어보라.
정답: undefined
- 오른쪽(x→0⁺): 1/x → +∞
- 왼쪽(x→0⁻): 1/x → −∞
- 양쪽이 다르므로 극한은 존재하지 않는다
핵심: 양옆에서 다가가는 값이 다르면 극한은 없다.