수열의 극한
“극한은 '도착'이 아니라 '한없이 가까워지는' 값이다.”
수식
lim(n→∞) aₙ = L읽는 법: n이 한없이 커질 때 수열의 값 aₙ이 한 값 L에 한없이 가까워지면, L이 그 수열의 극한
- aₙ
- — 수열의 n번째 값
- n → ∞
- — 항의 번호 n이 한없이 커지는 것
- L
- — 수열이 다가가는 극한값
이야기의 시작
1, 1/2, 1/3, 1/4, … 이 수는 0이 되진 않지만, 0에 '한없이' 다가간다 — 그 도착점이 극한이다.
쉬운 말로
수열의 번호 n을 무한히 키울 때, 항의 값이 어떤 한 수 L에 계속 가까워지면 L을 그 수열의 극한이라 한다.
직관
목적지에 끝없이 다가가지만 결코 밟지는 않는 걸음을 상상하라. 중요한 건 '도착하느냐'가 아니라 '원하는 만큼 가까워질 수 있느냐'다. 아무리 작은 오차를 요구해도 충분히 뒤로 가면 그 안에 들어온다면, 그 다가가는 값이 극한이다.
어떻게 만들어지나
lim(n→∞)은 'n을 무한히 크게 할 때'라는 뜻, aₙ은 수열, L은 다가가는 값. 극한이 하나의 유한한 값으로 정해지면 '수렴', 무한히 커지거나 값이 안 정해지면 '발산'이라 한다.
예시
aₙ = 1/n 은 1, 1/2, 1/3, … 로 점점 작아진다. n이 커질수록 0에 한없이 가까워지므로 lim(n→∞) 1/n = 0.
흔한 오해
극한값에 '실제로 도달한다'는 뜻이 아니다. 1/n 은 어떤 n에서도 0이 되지 않는다 — 다만 원하는 만큼 0에 가까워질 뿐. '가까워짐'과 '같아짐'은 다르다.
어디에 쓰나
원의 넓이를 다각형으로 근사하기, 무한급수의 합, 미분·적분의 바탕 — '무한히 잘게 쪼개 다가가는' 미적분 전체의 출발점이다.
어디서 왔나
'한없이 가까워짐'을 엄밀한 ε-N 언어로 못 박은 것은 19세기 코시와 바이어슈트라스로, 이로써 미적분이 튼튼한 논리 위에 서게 됐다.
선행 개념
확인 문제
lim(n→∞) 1/n 의 값은?
- 0✓
- 1
- ∞
- 1/2
연습
lim(n→∞) 1/n² 의 값을 구하라.
정답: 0
- n이 커지면 n²은 더 빨리 커진다
- 1/n² 은 0에 한없이 가까워진다 → 0
핵심: 분모가 무한히 커지면 분수는 0으로 간다.
lim(n→∞) (2n+1)/n 의 값을 구하라.
정답: 2
- (2n+1)/n = 2 + 1/n
- n→∞ 이면 1/n → 0, 따라서 2
핵심: 식을 쪼개면 사라지는 항이 보인다.
모든 항이 3인 상수수열 aₙ=3 의 극한 lim(n→∞) 3 을 구하라.
정답: 3
- 모든 항이 항상 3
- 값이 변하지 않으므로 극한도 3
핵심: 상수수열의 극한은 그 상수 그대로.
1/n 이 0에 가까워지지만 결코 0이 되지 않는다는 것이 무슨 뜻인지 적어보라.
정답: undefined
- 어떤 n을 넣어도 1/n > 0 이다
- 하지만 n을 키우면 원하는 만큼 0에 가까워진다
- 극한 0은 '도달점'이 아니라 '다가가는 값'
핵심: 극한은 도달이 아니라 무한한 접근이다.