등차수열과 등비수열
“더하면 등차(직선), 곱하면 등비(곡선).”
수식
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹읽는 법: 등차수열은 첫째항에 공차 d를 (n−1)번 더하고, 등비수열은 첫째항에 공비 r을 (n−1)번 곱한다
- a₁
- — 첫째항 — 수열의 시작 값
- d
- — 공차 — 이웃한 항의 일정한 차 (등차)
- r
- — 공비 — 이웃한 항의 일정한 비 (등비)
- n
- — 항의 번호 (몇 번째 항인가)
이야기의 시작
계단을 오르듯 '일정하게 더하면' 등차, 이자가 붙듯 '일정하게 곱하면' 등비 — 규칙 하나가 수열 전체를 결정한다.
쉬운 말로
등차수열은 앞 항에 매번 같은 수 d를 더한 줄, 등비수열은 앞 항에 매번 같은 수 r을 곱한 줄이다.
직관
등차는 일정한 보폭으로 걷는 것 — 그래프로 그리면 직선. 등비는 매번 같은 배율로 뛰는 것 — 그래프로 그리면 지수 곡선. '더하기 규칙'이냐 '곱하기 규칙'이냐가 둘을 가른다.
어떻게 만들어지나
n번째 항에 닿으려면 첫째항에서 딱 (n−1)걸음 움직인다. 등차는 그 걸음마다 d를 더하니 a₁+(n−1)d, 등비는 걸음마다 r을 곱하니 a₁·rⁿ⁻¹. n이 아니라 (n−1)인 게 핵심 — 첫째항은 0걸음이다.
예시
2, 5, 8, 11, … 은 d=3인 등차. 제4항 = 2 + (4−1)·3 = 2 + 9 = 11. 3, 6, 12, 24, … 는 r=2인 등비. 제4항 = 3·2³ = 24.
흔한 오해
지수 자리에 n을 그대로 넣는 실수가 잦다. 제4항의 공비 곱은 r⁴이 아니라 r³ — 첫째항에서 세 번만 곱하기 때문. (n−1)을 꼭 확인하라.
어디에 쓰나
예금 이자·인구 증가·감가상각(등비), 일정 적립·좌석 배열(등차) 등 '규칙적으로 변하는 양'을 예측하는 데 쓰인다.
어디서 왔나
어린 가우스가 1부터 100까지를 순식간에 더했다는 일화가 바로 등차수열의 합 이야기다 — 양 끝을 짝지어 더하는 그 아이디어.
선행 개념
확인 문제
등차수열 3, 7, 11, … 의 제5항은?
- 15
- 17
- 19✓
- 23
연습
등차수열 2, 5, 8, … 의 제10항을 구하라.
정답: 29
- a₁=2, d=3
- a₁₀ = 2 + (10−1)·3 = 2 + 27 = 29
핵심: 제n항은 첫째항에서 (n−1)번 더한 것.
등비수열 1, 2, 4, 8, … 의 제7항을 구하라.
정답: 64
- a₁=1, r=2
- a₇ = 1·2⁷⁻¹ = 2⁶ = 64
핵심: 제n항의 공비는 rⁿ⁻¹ (r⁷이 아니다).
첫째항 5, 공차 −2인 등차수열의 제6항은?
정답: -5
- a₆ = 5 + (6−1)·(−2) = 5 − 10
- = −5
핵심: 공차가 음수면 수열은 점점 작아진다.
첫째항 2, 공비 3인 등비수열의 제4항을 구하라.
정답: undefined
- a₄ = 2·3⁴⁻¹ = 2·3³
- = 2·27 = 54
핵심: 첫째항에서 세 번만 곱한다.