대수
개념 18개
2x + 3문자와 식
'어떤 수의 2배에 3을 더한 것'을 문자 x를 써서 2x+3 이라고 짧게 적은 것.
ax + b = 0 → x = −b/a일차방정식
x가 딱 하나의 값일 때만 참이 되는 등식. 그 값을 찾아내는 게 '방정식을 푼다'는 뜻.
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂연립일차방정식
x와 y, 두 미지수를 동시에 만족시키는 (x, y) 한 쌍을 찾는 것. 식이 둘 있어야 답이 하나로 정해진다.
ax + b > 0일차부등식
x가 어떤 값보다 크다/작다를 나타내는 식. 답이 하나가 아니라 '범위'로 나온다.
y = ax + b일차함수와 그래프
입력 x를 넣으면 'a배 하고 b를 더한' 값 y가 나오는 규칙. 그래프로 그리면 언제나 곧은 직선이다.
(a + b)² = a² + 2ab + b²곱셈공식
(a+b)²은 a²+b²이 아니라, 그 사이에 2ab가 끼어 a²+2ab+b²이 된다.
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)인수분해
x²+5x+6 같은 식을 (x+2)(x+3)처럼 '두 식의 곱'으로 바꾸는 것. 곱셈공식의 정확한 역방향이다.
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)이차방정식
x²이 들어간 방정식 ax²+bx+c=0. 해는 최대 두 개이고, 근의공식에 a·b·c만 넣으면 반드시 나온다.
y = a(x − p)² + q이차함수
y = a(x−p)² + q. 그래프는 포물선이고, 꼭짓점 (p, q)가 그 곡선의 '뾰족한 끝(최고점 또는 최저점)'이다.
y = aˣ ⇔ x = logₐ y지수함수와 로그함수
aˣ은 a를 x번 곱한 것, logₐ y는 'a를 몇 번 곱해야 y가 되나'를 되묻는 것. 둘은 지수와 로그로 서로를 뒤집는다.
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹등차수열과 등비수열
등차수열은 앞 항에 매번 같은 수 d를 더한 줄, 등비수열은 앞 항에 매번 같은 수 r을 곱한 줄이다.
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2시그마와 급수
Σ는 '아래 값부터 위 값까지 차례로 넣어 다 더하라'는 명령. Σₖ₌₁ⁿ k 는 1부터 n까지의 합이다.
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ행렬
행렬은 수를 가로줄(행)과 세로줄(열)로 배열한 것. 두 행렬의 곱은 '앞의 행'과 '뒤의 열'을 짝지어 곱해 더한다.
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ이항정리
(a+b)ⁿ을 전개했을 때 나오는 각 항의 계수는 ₙCₖ, 즉 'n개 괄호 중 b를 k번 고르는 경우의 수'다.
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)선형변환
선형변환은 평면(또는 공간)의 모든 점을 옮기되, 격자선을 직선으로, 균일한 간격으로, 원점은 고정한 채 유지하는 변환이다. 이 규칙적인 움직임은 행렬 하나로 완전히 표현된다.
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0고유값과 고유벡터
변환 A를 가하면 대부분의 벡터는 방향이 틀어진다. 하지만 어떤 특별한 벡터 v는 방향은 그대로 두고 길이만 λ배로 늘거나 줄어든다. 그런 v가 고유벡터, 배율 λ가 고유값이다.
u, v ∈ V, a, b ∈ ℝ ⟹ a·u + b·v ∈ V벡터공간 — 더하고 늘여도 안 벗어나는 세계
벡터공간은 원소를 서로 더하고 실수배 해도 결코 밖으로 튀어나가지 않는 집합이다. 이 두 연산(덧셈·스칼라배)이 몇 가지 자연스러운 규칙만 지키면 된다.
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bc행렬식 — 넓이가 몇 배로 늘어나는가
2×2 행렬 [[a,b],[c,d]]의 행렬식은 ad − bc. 이 숫자는 그 행렬이 도형의 넓이를 몇 배로 만드는지를 말해 준다.