지수함수와 로그함수
“지수는 곱셈의 세계, 로그는 그걸 되감은 덧셈의 세계다.”
수식
y = aˣ ⇔ x = logₐ y읽는 법: 밑 a를 x번 곱한 값이 y이고, 거꾸로 y를 만들려면 a를 몇 번 곱해야 하는지가 로그 x
- a
- — 밑 — 1이 아닌 양수 (반복해서 곱하는 수)
- aˣ
- — a를 x번 곱한 값 (지수함수)
- logₐ y
- — y가 되려면 a를 몇 번 곱해야 하는지 (로그함수)
이야기의 시작
지수함수와 로그함수는 서로의 거울상이다 — 한쪽이 '몇 번 곱했나'를 묻고, 다른 쪽이 그 답을 돌려준다.
쉬운 말로
aˣ은 a를 x번 곱한 것, logₐ y는 'a를 몇 번 곱해야 y가 되나'를 되묻는 것. 둘은 지수와 로그로 서로를 뒤집는다.
직관
지수함수는 곱셈으로 폭발적으로 자라고, 로그함수는 그 폭발을 되감아 '자릿수'처럼 천천히 자란다. 곱하기의 세계(지수)와 더하기의 세계(로그)를 잇는 통역기라고 보면 된다.
어떻게 만들어지나
지수함수 y=aˣ은 밑 a>1이면 오른쪽으로 갈수록 급격히 커지고, 로그함수는 그 그래프를 y=x에 비춘 역함수다. 그래서 logₐ(aˣ)=x, a^(logₐ y)=y로 서로 상쇄된다.
예시
2³=8 이므로 거꾸로 log₂ 8 = 3. '2를 세 번 곱하면 8'을 로그로 읽으면 '8의 밑 2 로그는 3'.
흔한 오해
log(x+y)는 log x + log y가 아니다. 로그가 덧셈으로 바꾸는 건 '곱셈'이다 — log(xy)=log x+log y. 이걸 헷갈리면 로그 계산이 통째로 무너진다.
어디에 쓰나
소리의 데시벨, 지진의 리히터 규모, 산성도 pH, 복리 이자, 세균 증식 — '몇 배씩 커지는' 모든 현상의 언어가 지수와 로그다.
어디서 왔나
로그는 17세기 네이피어가 '곱셈을 덧셈으로 바꿔 계산을 줄이려고' 만들었다. 계산기가 없던 시절, 로그표는 천문학자의 수명을 늘려준 도구였다.
선행 개념
확인 문제
log₂ 8 의 값은?
- 1
- 2
- 3✓
- 8
연습
log₂ 16 의 값을 구하라.
정답: 4
- 2를 몇 번 곱해야 16이 되나?
- 2⁴ = 16 이므로 log₂ 16 = 4
핵심: 로그는 '지수를 되묻는 것'이다.
log₁₀ 1000 의 값을 구하라.
정답: 3
- 10을 몇 번 곱해야 1000이 되나?
- 10³ = 1000 이므로 log₁₀ 1000 = 3
핵심: 상용로그는 곧 '자릿수 감각'이다.
방정식 3ˣ = 81 을 풀어라.
정답: 4
- 81을 3의 거듭제곱으로: 81 = 3⁴
- 밑이 같으므로 x = 4
핵심: 지수방정식은 밑을 맞추면 지수만 비교하면 된다.
logₐ 1 = 0 인 이유를 한 줄로 적어보라.
정답: undefined
- 'a를 몇 번 곱해야 1이 되나?'를 묻는 것
- a⁰ = 1 (0번 곱하면 1)
- 따라서 logₐ 1 = 0
핵심: 어떤 밑이든 1의 로그는 항상 0이다.