이차함수
“이차함수는 포물선, 꼭짓점이 최고점 아니면 최저점이다.”
수식
y = a(x − p)² + q읽는 법: 꼭짓점이 (p, q)인 포물선
- a
- — 볼록한 방향(부호)과 폭(크기)
- (p, q)
- — 포물선의 꼭짓점 — 최댓값 또는 최솟값 지점
- x
- — 입력값
이야기의 시작
직선이 일차함수라면, 이차함수는 포물선 — 던진 공이 그리는 바로 그 곡선이다.
쉬운 말로
y = a(x−p)² + q. 그래프는 포물선이고, 꼭짓점 (p, q)가 그 곡선의 '뾰족한 끝(최고점 또는 최저점)'이다.
직관
a>0이면 위로 열린 컵 모양(∪)이라 꼭짓점이 '가장 낮은 점', a<0이면 아래로 열린 모자 모양(∩)이라 꼭짓점이 '가장 높은 점'. |a|가 클수록 폭이 좁고 가파르다.
어떻게 만들어지나
y=ax²+bx+c 꼴은 완전제곱으로 정리하면 y=a(x−p)²+q가 되어 꼭짓점 (p,q)가 드러난다. p는 좌우 대칭축의 위치, q는 그 지점의 높이.
예시
y=x²−2x−3 = (x−1)²−4. 꼭짓점 (1,−4), a=1>0이라 위로 열린 포물선의 최저점이 (1,−4). y절편은 x=0일 때 −3.
흔한 오해
a의 부호를 놓치면 최대·최소가 뒤바뀐다 — a>0은 최솟값(바닥), a<0은 최댓값(꼭대기). 꼭짓점 x좌표는 (x−p)에서 p라 부호를 헷갈리기 쉽다.
어디에 쓰나
포물선 안테나, 분수의 물줄기, 최대 넓이·최대 이익 문제 — '어디서 가장 크거나 작은가'를 묻는 순간 이차함수가 답한다.
어디서 왔나
포물선은 갈릴레오가 던진 물체의 궤적이 정확히 이 곡선임을 밝히며 물리와 손잡았다.
선행 개념
확인 문제
y = (x − 2)² + 3 의 꼭짓점은?
- (2, 3)✓
- (−2, 3)
- (2, −3)
- (3, 2)
연습
y = x² 에서 x = 3 일 때 y 의 값은?
정답: 9
- y = 3²
- = 9
핵심: 이차함수도 x를 넣으면 y가 하나 나온다.
y = (x − 1)² − 4 의 꼭짓점의 x좌표는?
정답: 1
- 꼭짓점 형태 a(x−p)²+q에서 p가 x좌표
- (x − 1)² 이므로 p = 1
핵심: (x − p)에서 p가 곧 꼭짓점의 x좌표.
y = x² − 4x + 3 의 꼭짓점의 x좌표는?
정답: 2
- 대칭축 x = −b/(2a) = −(−4)/(2·1)
- = 4/2 = 2
핵심: 꼭짓점 x좌표는 −b/2a로 바로 나온다.
y = x² − 4x + 3 을 완전제곱으로 고쳐 꼭짓점을 구하라.
정답: undefined
- x² − 4x = (x − 2)² − 4
- y = (x − 2)² − 4 + 3 = (x − 2)² − 1
- 꼭짓점 (2, −1)
핵심: 완전제곱으로 고치면 꼭짓점이 바로 보인다.