일차함수와 그래프
“일차함수는 직선, 기울기는 '얼마나 가파른가'다.”
수식
y = ax + b읽는 법: 기울기가 a이고 y절편이 b인 직선
- a
- — 기울기 — x가 1 늘 때 y가 오르는 양
- b
- — y절편 — x = 0일 때의 y값(출발 높이)
- x
- — 입력값
이야기의 시작
y=ax+b는 그냥 직선 하나다 — 기울기 a가 '얼마나 가파른지', b가 '어디서 출발하는지'를 정한다.
쉬운 말로
입력 x를 넣으면 'a배 하고 b를 더한' 값 y가 나오는 규칙. 그래프로 그리면 언제나 곧은 직선이다.
직관
a는 계단의 경사다 — x가 1 늘 때마다 y가 a만큼 오른다. b는 출발 높이(x=0일 때의 y). 이 둘만 알면 직선이 완전히 정해진다.
어떻게 만들어지나
a는 기울기 = (y의 변화량)/(x의 변화량). b는 y절편, 직선이 y축을 지나는 높이. a의 부호가 +면 오른쪽 위로, −면 오른쪽 아래로 향한다.
예시
y=2x−1. x가 0,1,2일 때 y는 −1,1,3. x가 1 늘 때마다 y가 2씩 늘어 — 기울기가 딱 2다.
흔한 오해
기울기 a와 y절편 b를 헷갈리기 쉽다. y=3x−2에서 3이 기울기, −2가 시작 높이 — 3이 아니다.
어디에 쓰나
요금제(기본료+사용량), 속력이 일정한 거리, 온도 변화처럼 '일정한 비율로 변하는' 모든 관계의 기본 모형.
어디서 왔나
수식과 그래프를 잇는 좌표평면은 17세기 데카르트가 만들었다 — 방정식이 비로소 '그림'이 된 순간이다.
선행 개념
확인 문제
일차함수 y = 3x − 2 의 기울기는?
- 3✓
- −2
- 2
- −3
연습
y = 2x + 1 에서 x = 3 일 때 y 의 값은?
정답: 7
- y = 2·3 + 1
- = 7
핵심: x를 넣으면 직선 위의 한 점 y가 나온다.
y = −2x + 5 에서 x = 1 일 때 y 의 값은?
정답: 3
- y = −2·1 + 5
- = 3
핵심: 기울기가 음수면 x가 늘 때 y는 줄어든다.
두 점 (1, 2)와 (3, 8)을 지나는 직선의 기울기는?
정답: 3
- 기울기 = (y 변화)/(x 변화) = (8 − 2)/(3 − 1)
- = 6/2 = 3
핵심: 기울기는 두 점의 세로차를 가로차로 나눈 값.