좌표평면과 두 점 사이 거리
“좌표 거리 공식은 그냥 피타고라스 정리다.”
수식
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)읽는 법: 두 점 사이 거리는, 가로로 벌어진 양과 세로로 벌어진 양을 각각 제곱해 더한 뒤 제곱근을 씌운 값
- x₂ − x₁
- — 두 점의 가로 방향(x) 차이
- y₂ − y₁
- — 두 점의 세로 방향(y) 차이
- d
- — 두 점을 잇는 선분의 길이(직선 거리)
이야기의 시작
좌표 위 두 점 사이 거리는, 사실 피타고라스 정리를 그대로 옮겨 쓴 것이다.
쉬운 말로
두 점의 가로 차이와 세로 차이를 각각 구해 직각삼각형을 만들면, 두 점을 잇는 선분은 그 빗변이다. 그래서 거리는 √(가로²+세로²)이 된다.
직관
두 점 사이에 계단을 그려 보라 — 가로로 (x₂−x₁)만큼, 세로로 (y₂−y₁)만큼. 이 두 변이 직각을 이루고, 우리가 원하는 '똑바른 거리'는 그 빗변이다. 거리 공식은 위장한 피타고라스다.
어떻게 만들어지나
① 가로 차이 x₂−x₁, ② 세로 차이 y₂−y₁ 를 구한다. ③ 각각 제곱해 더하면 빗변의 제곱, ④ 제곱근을 씌우면 거리. 차이의 부호는 제곱하면 사라지므로 어느 점을 먼저 빼도 상관없다.
예시
(0, 0)과 (3, 4) 사이 거리: 가로 차 3, 세로 차 4 → √(3² + 4²) = √25 = 5. 3-4-5 직각삼각형 그대로.
흔한 오해
차이를 제곱하기 전에 빼는 걸 빼먹거나, x끼리·y끼리가 아니라 x와 y를 섞어 빼면 틀린다. 또 제곱하면 부호가 사라지므로 (x₁−x₂)로 빼도 결과는 같다.
어디에 쓰나
지도 앱의 두 지점 직선거리, 게임 캐릭터 사이 간격, 데이터 분석에서 두 점의 '가까움' 측정까지 — 좌표가 있는 모든 곳.
어디서 왔나
데카르트가 도형을 좌표로 옮겨 놓으면서(해석기하학), 자·컴퍼스로 재던 거리를 계산으로 구할 수 있게 됐다.
선행 개념
확인 문제
점 (0, 0)과 (6, 8) 사이의 거리는?
- 10✓
- 14
- 48
- 100
연습
점 (1, 1)과 (4, 5) 사이의 거리는?
정답: 5
- 가로 차: 4 − 1 = 3, 세로 차: 5 − 1 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25
- = 5
핵심: 가로 차·세로 차를 먼저 구하면 그다음은 피타고라스.
점 (2, 3)과 (2, 7) 사이의 거리는?
정답: 4
- 가로 차: 2 − 2 = 0, 세로 차: 7 − 3 = 4
- d = √(0² + 4²) = √16 = 4
핵심: x가 같으면 세로로만 떨어진 거리 — 그냥 y의 차이.
점 (0, 0)과 (2, 2) 사이의 거리를 근삿값으로 구하라.
정답: 2.83
- 가로 차 2, 세로 차 2
- d = √(2² + 2²) = √8 = 2√2
- 2√2 ≈ 2.83
핵심: 딱 떨어지지 않는 거리는 무리수 — 근삿값으로 답한다.