피타고라스 정리
“직각삼각형은 두 변만 알면 나머지 한 변이 정해진다.”
수식
a² + b² = c²읽는 법: 직각삼각형에서 두 직각변의 제곱을 더하면 빗변의 제곱과 같다
- a, b
- — 직각을 낀 두 변(직각변)의 길이
- c
- — 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변(빗변)
- a², b², c²
- — 각 변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이
이야기의 시작
직각 하나만 있으면, 두 변으로 나머지 한 변의 길이를 재지 않고 계산해 버릴 수 있다.
쉬운 말로
직각삼각형에서 짧은 두 변을 각각 제곱해 더하면, 빗변을 제곱한 값과 정확히 같아진다.
직관
세 변에 각각 정사각형을 그려 붙여 보라. 작은 두 정사각형의 넓이(a², b²)를 합치면 큰 정사각형(c²)에 딱 들어맞는다. 길이의 관계가 아니라 '넓이의 저울'이 균형을 이루는 것이다.
어떻게 만들어지나
핵심은 '직각'이다. 직각일 때만 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같아진다. 빗변 c는 언제나 직각의 맞은편, 즉 가장 긴 변이다.
예시
두 직각변이 3과 4이면 3² + 4² = 9 + 16 = 25. 빗변은 √25 = 5. 그래서 3-4-5는 가장 유명한 직각삼각형이다.
흔한 오해
빗변을 아무 변이나 넣으면 안 된다. c는 항상 '직각의 맞은편·가장 긴 변'이다. 또 a+b=c가 아니라 제곱끼리의 관계임을 놓치기 쉽다.
어디에 쓰나
지도에서 두 점 사이 거리, 화면 대각선 크기, 건물의 수직 확인, 좌표평면의 거리 공식까지 — '직선 거리'가 필요한 거의 모든 곳.
어디서 왔나
이름은 피타고라스지만, 바빌로니아·이집트·중국·인도가 이미 수천 년 전에 이 관계를 알고 쓰고 있었다.
선행 개념
확인 문제
두 직각변이 6과 8인 직각삼각형의 빗변 길이는?
- 10✓
- 12
- 14
- 48
연습
두 직각변이 5와 12인 직각삼각형의 빗변 길이는?
정답: 13
- 5² + 12² = 25 + 144 = 169
- 빗변 = √169 = 13
핵심: 5-12-13도 자주 나오는 정수 직각삼각형이다.
빗변이 13, 한 직각변이 5인 직각삼각형의 나머지 직각변 길이는?
정답: 12
- 빗변을 알 때는 빼야 한다: b² = c² − a²
- b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- b = √144 = 12
핵심: 빗변을 알고 한 변을 구할 땐 더하지 말고 뺀다.
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이는? (근삿값으로 답하라)
정답: 1.41
- 대각선은 두 변이 1, 1인 직각삼각형의 빗변
- 1² + 1² = 2, 대각선 = √2
- √2 ≈ 1.414
핵심: 정사각형의 대각선은 한 변의 √2배 — 딱 떨어지지 않는 무리수다.