제곱근
“제곱근은 '제곱을 거꾸로 푼' 수다.”
수식
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)읽는 법: 제곱해서 a가 되는 0 이상의 수 b, 그것이 a의 제곱근 √a
- √a
- — 제곱하면 a가 되는 0 이상의 수(a의 양의 제곱근)
- b² = a
- — b를 제곱하면 원래 수 a로 돌아온다
- √
- — 근호 — '제곱을 거꾸로 푼다'는 기호
이야기의 시작
제곱근은 제곱의 역방향이다 — '무엇을 제곱하면 이 수가 될까?'를 묻는다.
쉬운 말로
어떤 수를 제곱해서 a가 될 때, 그 어떤 수를 a의 제곱근이라 한다. √a는 그중 0 이상인 값.
직관
넓이가 a인 정사각형을 떠올려라. 그 한 변의 길이가 바로 √a다. 넓이 9인 정사각형의 변은 3, 그래서 √9 = 3.
어떻게 만들어지나
제곱(□²)은 앞으로 가는 계산, 제곱근(√□)은 그걸 되돌리는 계산. 서로 역연산이라 (√a)² = a, √(b²) = b(b≥0)로 상쇄된다.
예시
√9를 보자. 3² = 9이므로 √9 = 3. 넓이 9짜리 정사각형의 한 변이 3인 것과 같다.
흔한 오해
√9는 ±3이 아니라 3이다. 근호 √는 '음이 아닌 값'만 가리킨다. 제곱해서 9가 되는 수는 ±3 둘이지만, √9 기호가 뜻하는 건 3 하나다.
어디에 쓰나
피타고라스 정리로 거리 구하기, 도형의 변 길이, 표준편차, 물리의 여러 공식 — 제곱을 거꾸로 풀어야 할 때 어김없이 등장한다.
어디서 왔나
근호 √는 '뿌리'를 뜻하는 라틴어 radix의 r을 흘려 쓴 데서 왔다고 전해진다. 수의 '근원'을 캐낸다는 뜻이 담겨 있다.
선행 개념
확인 문제
√16 의 값은?
- 2
- 4✓
- 8
- 256
연습
√36 의 값은?
정답: 6
- 제곱해서 36이 되는 0 이상의 수를 찾는다
- 6² = 36 → √36 = 6
핵심: 제곱해서 그 수가 되는 값을 찾으면 된다.
√81 의 값은?
정답: 9
- 9² = 81
- → √81 = 9
핵심: 구구단의 제곱을 알면 제곱근이 보인다.
(√7)² 의 값은?
정답: 7
- 제곱과 제곱근은 서로를 상쇄한다
- (√7)² = 7
핵심: 제곱근을 제곱하면 안의 수가 그대로 나온다.
√10 은 어떤 두 정수 사이에 있는가? 왜인지 적어보라.
정답: undefined
- 3² = 9, 4² = 16
- 9 < 10 < 16 이므로 3 < √10 < 4
- √10 은 3과 4 사이 (약 3.16)
핵심: 가까운 완전제곱수로 제곱근의 크기를 어림한다.