지수법칙
“곱하면 지수 더하기, 나누면 지수 빼기.”
수식
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ읽는 법: 밑이 같은 거듭제곱끼리 곱하면 지수를 더한다
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- — 같은 밑끼리 곱하면 지수는 더한다
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- — 거듭제곱을 또 거듭제곱하면 지수는 곱한다
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- — 같은 밑끼리 나누면 지수는 뺀다
이야기의 시작
지수법칙은 외울 게 많아 보이지만, 실은 '반복되는 곱셈을 세는' 하나의 아이디어다.
쉬운 말로
거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것. 그것들을 곱하거나 나누면 지수끼리 더하거나 빼면 된다.
직관
aᵐ은 a를 m번, aⁿ은 a를 n번 곱한 것. 둘을 곱하면 a가 총 m+n번 곱해지니, 지수도 m+n. '몇 번 곱했나'를 세는 것뿐이라 지수가 더해진다.
어떻게 만들어지나
세 규칙이 전부다 — 곱하면 지수 더하기(aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ), 거듭을 거듭하면 지수 곱하기((aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ), 나누면 지수 빼기(aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ).
예시
2³ × 2² 를 풀어 쓰면 (2×2×2) × (2×2) = 2가 다섯 번. 그래서 2⁵ = 32. 지수 3+2=5와 딱 맞는다.
흔한 오해
aᵐ · aⁿ 을 aᵐˣⁿ 으로 착각하기 쉽다. 곱셈은 지수를 '더하는' 것이고, 지수를 '곱하는' 건 (aᵐ)ⁿ 처럼 거듭을 또 거듭할 때다.
어디에 쓰나
큰 수·작은 수를 다루는 과학적 표기법(10의 거듭제곱), 넓이·부피, 컴퓨터의 2진수 용량(2¹⁰=1024) 계산에 매일 쓰인다.
어디서 왔나
거듭제곱 표기 aⁿ은 데카르트가 널리 퍼뜨렸고, 지수법칙은 뒷날 유리수·음수·실수 지수까지 자연스럽게 확장됐다.
선행 개념
확인 문제
2³ × 2⁴ 을 하나의 거듭제곱으로 나타내면?
- 2⁷✓
- 2¹²
- 2¹
- 4⁷
연습
3² × 3³ 을 계산하라.
정답: 243
- 지수 더하기: 3² × 3³ = 3⁵
- 3⁵ = 243
핵심: 같은 밑의 곱은 지수를 더한다.
(2³)² 을 계산하라.
정답: 64
- 지수 곱하기: (2³)² = 2⁶
- 2⁶ = 64
핵심: 거듭을 또 거듭하면 지수를 곱한다.
5⁴ ÷ 5² 을 계산하라.
정답: 25
- 지수 빼기: 5⁴ ÷ 5² = 5²
- 5² = 25
핵심: 같은 밑의 나눗셈은 지수를 뺀다.
a⁵ · a³ 을 하나의 거듭제곱으로 나타내라.
정답: undefined
- 밑이 같으니 지수를 더한다
- 5 + 3 = 8
- a⁵ · a³ = a⁸
핵심: 밑이 같아야 지수법칙을 쓸 수 있다.