선형변환
“행렬은 명사가 아니라 동사다 — 공간을 움직이는 동작.”
수식
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)읽는 법: 공간의 점 v에 행렬 A를 곱해 옮기되, 덧셈과 상수배를 그대로 보존하는 변환
- A
- — 변환을 정하는 행렬 — 그 열이 기저벡터가 가는 곳
- T(u+v)=T(u)+T(v)
- — 덧셈 보존 — 더한 뒤 옮기나 옮긴 뒤 더하나 같다
- T(cu)=c·T(u)
- — 상수배 보존 — 늘린 뒤 옮기나 옮긴 뒤 늘리나 같다
이야기의 시작
행렬은 숫자 표가 아니다 — 공간 전체를 한 번에 움직이는 '동작'이다.
쉬운 말로
선형변환은 평면(또는 공간)의 모든 점을 옮기되, 격자선을 직선으로, 균일한 간격으로, 원점은 고정한 채 유지하는 변환이다. 이 규칙적인 움직임은 행렬 하나로 완전히 표현된다.
직관
고무 격자를 상상하라. 선형변환은 이 격자를 늘리거나 회전하거나 기울일 수 있지만, 구부리거나 찢지는 못한다. 직선은 직선으로 남고 평행선은 평행으로 남는다. 놀라운 사실: 기저벡터 (1,0)과 (0,1)이 어디로 가는지만 알면 모든 점의 행선지가 정해진다 — 그 두 목적지가 바로 행렬의 두 열이다.
어떻게 만들어지나
두 규칙이 전부다. 덧셈 보존 T(u+v)=T(u)+T(v)와 상수배 보존 T(cu)=cT(u). 이 둘 덕분에 임의의 벡터를 기저벡터의 조합으로 쪼갠 뒤 각각 옮겨 더하면 된다 — 그래서 행렬-벡터 곱 Av가 곧 변환이다.
예시
A=[[2,0],[0,3]] 는 x방향으로 2배, y방향으로 3배 늘리는 변환. 점 (1,1)은 (2·1, 3·1)=(2,3)으로 간다. 각 열 (2,0)과 (0,3)이 각각 (1,0)과 (0,1)의 행선지다.
흔한 오해
행렬 곱이 '숫자 규칙을 외우는 것'이라는 오해. 사실 행렬 곱셈의 이상한 규칙은 '변환을 이어서 적용하기'의 자연스러운 결과다 — 그래서 순서가 바뀌면(AB ≠ BA) 결과도 달라진다.
어디에 쓰나
컴퓨터 그래픽의 회전·확대·투영, 로봇 팔의 좌표 변환, 데이터 과학의 차원 축소(PCA), 물리의 좌표계 바꾸기 — 공간을 규칙적으로 주무르는 모든 곳에 선형변환이 있다.
어디서 왔나
케일리가 19세기 중반 행렬을 '변환을 적는 표'로 도입했다. 방정식 풀이의 도구였던 행렬이, 사실은 공간의 동작을 적은 기호였음이 드러났다.
선행 개념
확인 문제
행렬 [[0,−1],[1,0]] 을 벡터 (1,0) 에 적용하면? (이 행렬은 90° 회전이다)
- (1,0)
- (0,1)✓
- (−1,0)
- (0,−1)
연습
A=[[2,0],[0,2]] 를 (3,5) 에 적용했을 때 x성분을 구하라.
정답: 6
- x성분 = 2·3 + 0·5
- = 6
핵심: 대각행렬은 각 축을 그 배수만큼 늘린다.
전단(shear) A=[[1,1],[0,1]] 을 (2,3) 에 적용했을 때 x성분을 구하라.
정답: 5
- x성분 = 1·2 + 1·3
- = 5 (y성분은 3 그대로)
핵심: 전단은 높이에 비례해 옆으로 민다.
A=[[3,0],[0,3]] 를 (4,4) 에 적용했을 때 y성분을 구하라.
정답: 12
- y성분 = 0·4 + 3·4
- = 12
핵심: 스칼라 3배 행렬은 모든 점을 원점에서 3배 밀어낸다.
왜 기저벡터 (1,0)·(0,1)의 행선지만 알면 모든 점의 행선지가 정해지는지 노트에 설명해보라.
정답: undefined
- 임의의 점 (a,b) = a·(1,0) + b·(0,1)
- 덧셈·상수배 보존으로 T(a,b) = a·T(1,0) + b·T(0,1)
- 그래서 두 기저의 행선지가 모든 것을 결정한다
핵심: 선형성 = 부분(기저)만 알면 전체가 따라온다.