벡터
“벡터는 '얼마나'에 '어느 쪽'을 더한 화살표다.”
수식
|v| = √(x² + y²)읽는 법: 벡터의 크기는 가로 성분 x와 세로 성분 y로 만든 직각삼각형의 빗변
- v
- — 벡터 — 크기와 방향을 함께 가진 양
- (x, y)
- — 벡터의 성분 (가로·세로 이동량)
- |v|
- — 벡터의 크기(길이)
이야기의 시작
속도, 힘, 바람 — 세상엔 '얼마나'만으로는 부족하고 '어느 쪽으로'까지 있어야 하는 양이 있다. 그게 벡터다.
쉬운 말로
벡터는 크기와 방향을 함께 지닌 화살표. 가로로 x, 세로로 y만큼 이동한 것을 (x,y)로 쓴다.
직관
벡터는 '위치'가 아니라 '이동'이다. 어디서 출발하든 오른쪽 3, 위로 4만큼 가는 화살표는 모두 같은 벡터. 두 벡터를 더한다는 건 첫 화살표 끝에 두 번째 화살표를 이어 붙이는 것 — 그래서 성분끼리 더하면 된다.
어떻게 만들어지나
벡터 (x,y)의 크기는 원점에서 그 점까지의 거리, 즉 직각삼각형의 빗변이라 피타고라스로 √(x²+y²). 덧셈은 (x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂)처럼 성분별로 처리한다.
예시
v=(3,4)의 크기는 √(3²+4²)=√(9+16)=√25=5. 오른쪽 3, 위로 4 간 화살표의 길이가 정확히 5.
흔한 오해
벡터의 크기는 x+y가 아니다. (3,4)의 크기는 7이 아니라 5 — 대각선 길이라 반드시 제곱해서 더하고 루트를 씌워야 한다.
어디에 쓰나
물리의 힘·속도·가속도, 게임 캐릭터의 이동, 내비게이션 방향, 3D 그래픽 — '방향이 있는 양'을 다루는 모든 곳.
어디서 왔나
벡터 개념은 19세기 물리학(특히 전자기학)에서 힘과 속도를 다루기 위해 다듬어졌고, 해밀턴과 깁스가 지금의 표기를 정착시켰다.
선행 개념
확인 문제
벡터 (3, 4) 의 크기는?
- 5✓
- 7
- 12
- 25
연습
벡터 (6, 8) 의 크기를 구하라.
정답: 10
- √(6² + 8²) = √(36 + 64)
- = √100 = 10
핵심: 크기는 성분을 제곱해 더한 뒤 루트.
(1, 2) + (3, 4) 의 결과 벡터의 x성분을 구하라.
정답: 4
- 성분끼리 더한다
- x성분: 1 + 3 = 4
핵심: 벡터 덧셈은 성분별로 이뤄진다.
벡터 (5, 0) 의 크기를 구하라.
정답: 5
- √(5² + 0²) = √25
- = 5
핵심: 한 방향으로만 가는 벡터의 크기는 그 성분값.
(−3, 4)의 크기가 (3, 4)의 크기와 같은 이유를 적어보라.
정답: undefined
- |(−3,4)| = √((−3)² + 4²) = √(9+16) = 5
- 제곱하면 부호가 사라진다
- 방향만 다를 뿐 길이는 같다
핵심: 크기는 방향(부호)을 지우고 길이만 잰다.