행렬
“행렬 곱은 '앞의 행'과 '뒤의 열'을 짝지어 더하는 것.”
수식
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ읽는 법: 두 행렬의 곱은 앞 행렬의 i행과 뒤 행렬의 j열을 짝지어 곱한 뒤 더한 것
- A, B
- — 수를 직사각형으로 배열한 행렬
- (AB)ᵢⱼ
- — 곱 AB의 i행 j열 성분
- aᵢₖ, bₖⱼ
- — A의 i행과 B의 j열에서 짝지어 곱해지는 성분
이야기의 시작
행렬은 수를 네모나게 늘어놓은 표일 뿐인데, 곱셈 규칙 하나가 회전·변환·연립방정식을 전부 한 덩어리로 다룬다.
쉬운 말로
행렬은 수를 가로줄(행)과 세로줄(열)로 배열한 것. 두 행렬의 곱은 '앞의 행'과 '뒤의 열'을 짝지어 곱해 더한다.
직관
덧셈·스칼라배는 같은 자리끼리 처리하면 되니 쉽다. 곱셈만 특별하다 — 앞 행렬의 한 행이 뒤 행렬의 한 열 위로 '내려앉아' 성분끼리 곱하고 합친다. 이 규칙 덕에 여러 개의 식을 한 번에 변환할 수 있다.
어떻게 만들어지나
성분 표기 aᵢⱼ는 i행 j열. 곱 AB의 (i,j) 성분은 A의 i행 전체와 B의 j열 전체를 순서대로 곱해 더한 값. 그래서 앞 행렬의 '열 수'와 뒤 행렬의 '행 수'가 같아야 곱이 정의된다.
예시
[[1,2],[3,4]]×[[5,6],[7,8]] 의 (1,1) 성분 = (1·5)+(2·7) = 5+14 = 19. 나머지도 같은 방식으로 [[19,22],[43,50]].
흔한 오해
AB와 BA는 대체로 다르다 — 행렬 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다. 순서를 바꾸면 결과가 달라지거나 아예 곱이 정의되지 않을 수 있다.
어디에 쓰나
컴퓨터 그래픽의 회전·확대, 연립일차방정식 풀이, 통계의 데이터 변환, 신경망의 계산 — 여러 수를 한꺼번에 변환하는 거의 모든 분야.
어디서 왔나
행렬 개념은 19세기 케일리가 정리했고, '행렬(matrix)'이라는 이름은 '무언가를 낳는 모체'라는 뜻의 라틴어에서 왔다.
선행 개념
확인 문제
단위행렬(항등행렬) I를 어떤 행렬 A에 곱하면 결과는?
- 영행렬
- A 그대로✓
- A의 전치행렬
- 항상 I
연습
[[2,1],[0,3]] + [[1,4],[5,2]] 의 (1,2) 성분을 구하라.
정답: 5
- 덧셈은 같은 자리끼리
- (1,2) 성분: 1 + 4 = 5
핵심: 행렬 덧셈은 같은 위치의 수끼리.
3 × [[1,−2],[0,4]] 의 (2,2) 성분을 구하라. (스칼라배)
정답: 12
- 스칼라배는 모든 성분에 곱한다
- (2,2) 성분: 3·4 = 12
핵심: 스칼라배는 모든 칸에 똑같이 곱한다.
[[1,2],[3,4]] × [[0,1],[1,0]] 의 (2,2) 성분을 구하라.
정답: 3
- 2행 (3,4) 와 2열 (1,0) 을 짝지어
- 3·1 + 4·0 = 3
핵심: 곱은 '행×열'을 성분끼리 곱해 더한다.
A=[[1,0],[0,0]], B=[[0,1],[0,0]] 에 대해 AB와 BA를 각각 구해 서로 다름을 보여라.
정답: undefined
- AB = [[0,1],[0,0]]
- BA = [[0,0],[0,0]]
- AB ≠ BA — 곱의 순서가 중요하다
핵심: 행렬 곱은 순서를 바꾸면 결과가 달라진다.