연립일차방정식
“연립방정식의 해 = 두 직선이 만나는 그 한 점.”
수식
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂읽는 법: 두 일차방정식을 동시에 만족하는 (x, y) 한 쌍을 찾는다
- x, y
- — 동시에 구해야 하는 두 미지수
- a₁, b₁, a₂, b₂
- — 각 식의 계수
- (x, y)
- — 두 직선이 만나는 교점의 좌표 = 해
이야기의 시작
미지수가 둘이면 식 하나로는 부족하다 — 두 조건이 만나는 단 한 점을 찾는 게임이다.
쉬운 말로
x와 y, 두 미지수를 동시에 만족시키는 (x, y) 한 쌍을 찾는 것. 식이 둘 있어야 답이 하나로 정해진다.
직관
각 일차방정식은 좌표평면의 직선 하나다. 두 직선이 만나는 교점의 좌표가 바로 연립방정식의 해 — 두 조건을 한꺼번에 만족하는 유일한 자리다.
어떻게 만들어지나
푸는 길은 둘. 가감법: 두 식을 더하거나 빼서 한 미지수를 지운다. 대입법: 한 식을 y=… 꼴로 만들어 다른 식에 통째로 넣는다. 어느 쪽이든 미지수를 하나로 줄이는 게 핵심.
예시
x+y=5, x−y=1. 두 식을 더하면 2x=6 → x=3. 되돌리면 y=2. (3,2)가 두 식을 모두 참으로 만든다.
흔한 오해
해가 항상 하나인 건 아니다 — 두 직선이 평행이면 만나지 않아 해가 없고, 완전히 겹치면 해가 무수히 많다.
어디에 쓰나
두 가지가 얽힌 문제 — 어른·아이 입장권, 두 상품의 가격, 속력과 시간처럼 조건이 둘일 때 각각을 콕 집어낸다.
어디서 왔나
여러 미지수를 소거해 푸는 아이디어는 2000년 전 중국의 '구장산술'에 이미 행렬 비슷한 표로 등장한다.
선행 개념
확인 문제
x + y = 10, x − y = 2 일 때 x 의 값은?
- 4
- 6✓
- 8
- 10
연습
x + y = 7, x − y = 3 일 때 x 를 구하라.
정답: 5
- 두 식을 더하면 y가 사라진다: 2x = 10
- x = 5
핵심: 가감법: 더하거나 빼서 한 미지수를 지운다.
y = 2x, x + y = 9 일 때 y 를 구하라.
정답: 6
- 대입: x + 2x = 9 → 3x = 9 → x = 3
- y = 2·3 = 6
핵심: 대입법: 한 미지수를 다른 식에 통째로 넣는다.
2x + y = 7, x + y = 4 를 풀고, 답을 두 식에 모두 넣어 확인하라.
정답: undefined
- 아래 식을 위에서 빼면: (2x+y) − (x+y) = 7 − 4 → x = 3
- x + y = 4 에 대입: y = 1
- 검산: 2·3+1 = 7 ✓, 3+1 = 4 ✓
핵심: 구한 (x, y)는 반드시 두 식 '모두'를 만족해야 한다.