대수methodfoundations

인수분해

“인수분해는 '곱해서 상수, 더해서 계수'인 두 수 찾기다.”

수식

x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

읽는 법: 더해서 일차항 계수, 곱해서 상수항이 되는 두 수로 묶는다

a + b: — x의 계수 = 두 수의 합
ab: — 상수항 = 두 수의 곱
(x + a)(x + b): — 인수분해된 곱의 형태

이야기의 시작

인수분해는 곱셈공식을 거꾸로 읽는 것 — 펼쳐진 식을 다시 '곱의 형태'로 되감는다.

쉬운 말로

x²+5x+6 같은 식을 (x+2)(x+3)처럼 '두 식의 곱'으로 바꾸는 것. 곱셈공식의 정확한 역방향이다.

직관

넓이가 x²+5x+6인 직사각형의 '가로와 세로'를 되찾는 일이다. 곱하면 상수항 6, 더하면 x의 계수 5가 되는 두 수(2와 3)를 찾으면 끝.

어떻게 만들어지나

x²+(a+b)x+ab 꼴이면, '더해서 가운데 계수, 곱해서 상수항'이 되는 두 수 a, b를 찾는다. 그러면 (x+a)(x+b)로 분해된다. 부호까지 맞춰야 한다.

예시

x²+5x+6: 곱해서 6, 더해서 5인 두 수는 2와 3 → (x+2)(x+3). 되곱해 보면 정말 x²+5x+6.

흔한 오해

부호를 놓치기 쉽다 — x²−5x+6은 곱해서 +6, 더해서 −5라서 −2와 −3, 즉 (x−2)(x−3)이다. 또 공통인수(2x²+6x의 2x)를 먼저 빼는 걸 잊지 말 것.

어디에 쓰나

이차방정식을 푸는 가장 빠른 길이고, 분수식을 약분하고 복잡한 식을 간단히 하는 만능 도구다.

어디서 왔나

'인수(factor)'로 쪼갠다는 발상은 수를 소인수로 분해하던 고대 전통을 문자를 쓰는 식으로 확장한 것이다.

선행 개념

곱셈공식

확인 문제

x² − 9 를 인수분해하면?

(x + 3)(x − 3)✓
(x − 3)²
(x + 9)(x − 1)
(x + 3)²

연습

x² + 7x + 12 를 인수분해하면?

정답: 0

풀이:

곱해서 12, 더해서 7인 두 수: 3과 4
(x + 3)(x + 4)

핵심: 곱=상수항, 합=일차항 계수.

x² − x − 6 을 인수분해하라.

정답: undefined

풀이:

곱해서 −6, 더해서 −1인 두 수: −3과 2
(x − 3)(x + 2)

핵심: 상수항이 음수 → 두 수의 부호가 엇갈린다.

2x² + 6x 를 인수분해하라.