대수formulafoundations
곱셈공식
“(a+b)²의 비밀은 가운데 낀 2ab다.”
수식
(a + b)² = a² + 2ab + b²읽는 법: 합의 제곱은 각각의 제곱에 2ab를 더한 것
- a, b
- — 더해지는 두 항
- 2ab
- — 빠뜨리기 쉬운 가운데 항
- (a + b)²
- — 한 변이 a+b인 정사각형의 넓이
이야기의 시작
(a+b)²을 매번 두 번 곱해 풀 필요 없다 — 넓이 그림 하나면 패턴이 눈에 박힌다.
쉬운 말로
(a+b)²은 a²+b²이 아니라, 그 사이에 2ab가 끼어 a²+2ab+b²이 된다.
직관
한 변이 a+b인 정사각형을 그려 보라. 큰 정사각형은 네 조각으로 갈린다 — a²짜리, b²짜리, 그리고 a×b짜리 직사각형 '둘'. 그 둘이 바로 2ab다.
어떻게 만들어지나
핵심 공식 셋 — (a+b)²=a²+2ab+b², (a−b)²=a²−2ab+b², (a+b)(a−b)=a²−b². 앞의 둘은 '가운데 2ab', 마지막은 '가운데가 사라지고 차의 제곱'.
예시
(x+3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x²+6x+9. 가운데 6x가 바로 2ab 자리다.
흔한 오해
(a+b)² ≠ a²+b². 2ab를 빼먹는 게 대수 최대의 단골 실수다. 반드시 가운데 항이 있다.
어디에 쓰나
복잡한 곱셈을 한 줄로 줄이고 암산도 빨라진다 — 그리고 다음 단계인 인수분해를 거꾸로 읽는 열쇠가 된다.
어디서 왔나
이 관계들은 유클리드 '원론' 2권에 이미 '넓이의 분할'이라는 기하학 정리로 그림과 함께 실려 있다.
선행 개념
확인 문제
(x + 2)² 을 전개하면?
- x² + 4x + 4✓
- x² + 4
- x² + 2x + 4
- x² + 4x + 2
연습
곱셈공식으로 102² 을 구하라.
정답: 10404
풀이:
- 102² = (100 + 2)²
- = 100² + 2·100·2 + 2² = 10000 + 400 + 4
- = 10404
핵심: (a+b)² 공식으로 큰 수 제곱도 암산.
곱셈공식으로 21 × 19 를 구하라.
정답: 399
풀이:
- 21 × 19 = (20 + 1)(20 − 1)
- = 20² − 1² = 400 − 1
- = 399
핵심: 합·차의 곱은 a²−b² — 가운데가 사라진다.
(x + 5)² 을 전개하라.
정답: undefined
풀이:
- (x+5)² = x² + 2·x·5 + 5²
- = x² + 10x + 25
핵심: 가운데 항 10x(=2ab)를 잊지 말 것.