고유값과 고유벡터
“고유벡터는 변환에도 '흔들리지 않는 방향', 고유값은 그 방향의 배율이다.”
수식
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0읽는 법: 변환 A를 가해도 방향이 그대로이고 길이만 λ배 되는 특별한 벡터 v가 고유벡터, 그 배율 λ가 고유값
- A
- — 정사각행렬 — 공간을 움직이는 변환
- v
- — 고유벡터 — 변환 후에도 방향이 안 바뀌는 벡터
- λ
- — 고유값 — 그 방향에서 늘어나거나 줄어드는 배율
- det(A−λI)=0
- — 고유값을 찾는 특성방정식
이야기의 시작
행렬이 공간을 마구 회전시켜도, 절대 방향이 안 바뀌는 특별한 축이 숨어 있다.
쉬운 말로
변환 A를 가하면 대부분의 벡터는 방향이 틀어진다. 하지만 어떤 특별한 벡터 v는 방향은 그대로 두고 길이만 λ배로 늘거나 줄어든다. 그런 v가 고유벡터, 배율 λ가 고유값이다.
직관
변환을 '공간을 늘리고 돌리는 동작'으로 보면, 고유벡터는 그 동작의 '회전축' 같은 것 — 흔들리지 않는 방향이다. 지구가 자전해도 자전축 위의 점은 방향이 안 변하듯, 고유벡터 방향은 변환에도 방향이 유지된다. λ는 그 축에서 얼마나 늘어나느냐다.
어떻게 만들어지나
Av=λv를 정리하면 (A−λI)v=0. 이게 v≠0인 해를 가지려면 행렬 A−λI가 '납작'해야 하고, 그 조건이 det(A−λI)=0이다. 이 방정식(특성방정식)을 λ에 대해 풀면 고유값이, 각 λ를 도로 넣어 풀면 고유벡터가 나온다.
예시
A=[[2,1],[1,2]] 의 고유값: det([[2−λ,1],[1,2−λ]]) = (2−λ)²−1 = λ²−4λ+3 = (λ−1)(λ−3) = 0, 즉 λ=1, 3. λ=3의 고유벡터는 (1,1): A(1,1)=(3,3)=3(1,1). λ=1의 고유벡터는 (1,−1): A(1,−1)=(1,−1).
흔한 오해
고유벡터는 특정한 길이의 화살표가 아니다 — '방향'이다. (1,1)이 고유벡터면 (2,2)나 (−5,−5)도 전부 같은 고유벡터(같은 방향). 중요한 건 크기가 아니라 방향과 그 방향의 배율 λ.
어디에 쓰나
구글 페이지랭크(웹의 고유벡터), 진동·공명의 고유진동수, 양자역학의 에너지 준위, 데이터의 주성분 분석(PCA), 다리·건물의 구조 안정성 — 복잡한 시스템의 '자연스러운 축'을 찾을 때마다 등장한다.
어디서 왔나
오일러가 회전운동에서 씨를 뿌리고, 힐베르트가 20세기 초 'eigen'(독일어 '고유의')을 붙였다. 양자역학이 등장하며 물리의 핵심 언어가 됐다.
선행 개념
확인 문제
대각행렬 [[3,0],[0,5]] 의 고유값 중 하나는?
- 4
- 3✓
- 0
- 8
연습
A=[[2,0],[0,7]] 의 두 고유값 중 더 큰 값을 구하라.
정답: 7
- 대각행렬의 고유값은 대각성분 2와 7
- 더 큰 값은 7
핵심: 대각·삼각행렬은 대각성분이 곧 고유값.
상삼각행렬 A=[[4,1],[0,4]] 의 고유값을 구하라.
정답: 4
- 삼각행렬 고유값은 대각성분
- 둘 다 4 (중복 고유값)
핵심: 삼각행렬이면 det(A−λI)가 대각성분의 곱으로 바로 풀린다.
A=[[2,1],[1,2]] 에서 det(A−λI)=0 을 풀어 더 큰 고유값을 구하라.
정답: 3
- (2−λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3
- = (λ−1)(λ−3) = 0 → λ=1, 3
- 더 큰 값은 3
핵심: 특성방정식 det(A−λI)=0 이 고유값을 뱉는다.
(1,1) 이 A=[[2,1],[1,2]] 의 고유벡터임을 확인하고 그 고유값을 구하라.
정답: undefined
- A(1,1) = (2·1+1·1, 1·1+2·1) = (3,3)
- (3,3) = 3·(1,1) 이므로 방향 유지, 고유값 λ=3
핵심: 고유벡터 확인은 Av가 v의 상수배인지만 보면 된다.