이항정리
“이항정리의 계수는 결국 '조합', 곧 파스칼 삼각형이다.”
수식
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ읽는 법: (a+b)를 n번 곱해 펼치면, 각 항의 계수가 조합 ₙCₖ가 된다
- ₙCₖ
- — 이항계수 — aⁿ⁻ᵏbᵏ 항 앞의 계수
- aⁿ⁻ᵏ bᵏ
- — a는 n−k번, b는 k번 곱해진 항
- n
- — 괄호를 곱하는 횟수(차수)
이야기의 시작
(a+b)¹⁰ 을 일일이 곱하지 않아도, 각 항의 계수가 '조합'이라는 걸 알면 한 줄로 펼칠 수 있다.
쉬운 말로
(a+b)ⁿ을 전개했을 때 나오는 각 항의 계수는 ₙCₖ, 즉 'n개 괄호 중 b를 k번 고르는 경우의 수'다.
직관
(a+b)ⁿ은 (a+b)를 n개 나란히 곱한 것. 전개는 각 괄호에서 a나 b 하나씩 골라 곱한 결과를 모두 더하는 것이다. b가 정확히 k번 뽑히는 방법이 ₙCₖ가지 → 그래서 aⁿ⁻ᵏbᵏ 항의 계수가 ₙCₖ. 계수는 '고르는 경우의 수'였던 것.
어떻게 만들어지나
차수 n이 정해지면 항은 aⁿ, aⁿ⁻¹b, …, bⁿ로 지수 합이 늘 n. 계수 ₙC₀, ₙC₁, …, ₙCₙ는 파스칼 삼각형의 한 줄과 똑같다 — 위 두 수를 더해 아래를 만드는 그 삼각형.
예시
(a+b)² = ₂C₀a² + ₂C₁ab + ₂C₂b² = 1·a² + 2ab + 1·b². 계수 1, 2, 1은 파스칼 삼각형의 셋째 줄.
흔한 오해
(a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ 이다. 가운데 교차항들이 조합 계수를 달고 반드시 나타난다. (a+b)²만 봐도 2ab가 빠지면 틀린다.
어디에 쓰나
확률의 이항분포 계산, 근삿값 어림(1+x)ⁿ, 대수식 전개, 조합론 항등식 — 확률·통계와 대수를 잇는 다리.
어디서 왔나
계수를 삼각형으로 배열한 '파스칼 삼각형'은 파스칼 이전 중국(양휘)·페르시아에서도 알려졌던, 문명을 넘나든 지혜다.
선행 개념
확인 문제
(a+b)³ 을 전개했을 때 a²b 의 계수는?
- 1
- 2
- 3✓
- 6
연습
(a+b)⁴ 의 전개에서 a²b² 의 계수를 구하라.
정답: 6
- b가 2번 뽑히는 경우의 수: ₄C₂
- = (4·3)/(2·1) = 6
핵심: 계수는 ₙCₖ, k는 b의 지수다.
(1+x)⁵ 의 전개에서 x² 의 계수를 구하라.
정답: 10
- x가 2번 뽑히는 경우의 수: ₅C₂
- = (5·4)/(2·1) = 10
핵심: (1+x)ⁿ 의 xᵏ 계수는 ₙCₖ.
(a+b)⁴ 의 모든 계수의 합을 구하라. (힌트: a=b=1)
정답: 16
- a=b=1 을 대입하면 (1+1)⁴
- = 2⁴ = 16
핵심: 계수의 합은 a=b=1 대입 → 2ⁿ.
(a+b)³ 의 계수 1, 3, 3, 1 이 파스칼 삼각형과 어떻게 연결되는지 적어보라.
정답: undefined
- 파스칼 삼각형에서 위 두 수를 더해 아래를 만든다
- 1,2,1 의 이웃을 더하면 1,3,3,1
- 이 줄이 곧 (a+b)³ 의 계수
핵심: 이항계수는 파스칼 삼각형의 한 줄이다.