순열과 조합
“순서를 따지면 순열, 무시하면 조합 (조합 = 순열 ÷ r!).”
수식
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)읽는 법: 순열은 순서를 따져 r개를 뽑는 경우의 수, 조합은 순서를 무시하고 r개를 뽑는 경우의 수
- n
- — 전체 대상의 개수
- r
- — 뽑는 개수
- ₙPᵣ
- — 순열 — 순서가 중요한 경우의 수
- ₙCᵣ
- — 조합 — 순서를 무시한 경우의 수
이야기의 시작
'금·은·동을 누구에게'와 '결승 진출 3명은 누구'는 세는 방법이 다르다 — 순서를 따지느냐 마느냐, 그게 순열과 조합을 가른다.
쉬운 말로
n개 중 r개를 뽑을 때, 뽑은 순서까지 구별하면 순열(P), 순서는 무시하고 '누가 뽑혔나'만 보면 조합(C)이다.
직관
먼저 순서대로 줄 세워 뽑으면 순열. 그런데 조합은 순서가 상관없으니, 같은 구성원을 순서만 바꿔 세는 중복(r!가지)을 없애야 한다 — 그래서 조합은 순열을 r!로 나눈 값이다. C = P ÷ r!.
어떻게 만들어지나
P는 'n부터 하나씩 줄여 r개를 곱한 것'(n·(n−1)·…). C는 그 P를 r!로 나눠 순서 중복을 지운 것. 팩토리얼 n! 은 1부터 n까지 모두 곱한 값으로, '줄 세우는 방법의 수'다.
예시
5명 중 2명: 순열 ₅P₂ = 5·4 = 20 (1등·2등 구별). 조합 ₅C₂ = 20 ÷ 2! = 20 ÷ 2 = 10 (그냥 2명 뽑기).
흔한 오해
'뽑는다'는 말만 보고 무조건 조합을 쓰면 안 된다. 반장·부반장처럼 자리(순서)가 구별되면 순열, 대표 2명처럼 자리 구별이 없으면 조합이다.
어디에 쓰나
복권 당첨 확률, 비밀번호 가짓수, 팀 구성, 카드 게임의 패 경우의 수 — '몇 가지 방법이 있나'를 세는 확률·통계의 출발점.
어디서 왔나
경우의 수를 체계적으로 센 초기 연구는 도박의 확률을 따지던 파스칼과 페르마의 편지에서 크게 발전했다.
선행 개념
확인 문제
₅C₂ 의 값은? (5명 중 2명 뽑기)
- 10✓
- 20
- 25
- 60
연습
₄P₂ 의 값을 구하라. (4개 중 2개를 순서대로)
정답: 12
- 4부터 2개를 곱한다: 4·3
- = 12
핵심: 순열은 n부터 r개를 곱해 내려간다.
₆C₂ 의 값을 구하라.
정답: 15
- ₆C₂ = (6·5)/(2·1)
- = 30/2 = 15
핵심: 조합은 순열을 r!로 나눈다.
3! 의 값을 구하라.
정답: 6
- 3! = 3·2·1
- = 6
핵심: 팩토리얼은 1부터 그 수까지 모두 곱한다.
왜 ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r! 인지 5명 중 2명 뽑기로 설명하라.
정답: undefined
- 순열 ₅P₂=20 은 (A,B)와 (B,A)를 다르게 센다
- 하지만 2명 뽑기에선 둘이 같은 조
- 순서 2!=2가지 중복을 나눠 20÷2=10
핵심: 조합은 순열에서 '순서 중복'을 지운 것.