시그마와 급수
“시그마는 '차례로 다 더하라'는 한 글자 명령이다.”
수식
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2읽는 법: 1부터 n까지의 모든 자연수를 더하면 n(n+1)/2
- Σ
- — 시그마 — '모두 더하라'는 합의 기호
- k
- — 더해 나가는 변수(1, 2, 3, …로 바뀜)
- n
- — 합의 끝 — 어디까지 더하는가
이야기의 시작
1+2+3+…+100 을 하나씩 더할 필요가 없다 — 시그마와 공식 하나면 한 줄로 끝난다.
쉬운 말로
Σ는 '아래 값부터 위 값까지 차례로 넣어 다 더하라'는 명령. Σₖ₌₁ⁿ k 는 1부터 n까지의 합이다.
직관
1부터 n까지를 앞뒤로 두 줄 겹쳐 놓으면, 각 짝의 합이 모두 (n+1)이 된다. 그런 짝이 n개 있으니 전체의 2배가 n(n+1), 그래서 합은 n(n+1)/2. 겹쳐서 짝짓는 그림이 공식의 정체다.
어떻게 만들어지나
Σ 기호 아래 k=1은 시작, 위 n은 끝, 뒤의 식은 '무엇을 더할지'다. 합의 공식은 세 개가 기본 — Σk=n(n+1)/2, Σk²=n(n+1)(2n+1)/6, Σc=cn(상수는 n번 더함).
예시
1부터 10까지: Σₖ₌₁¹⁰ k = 10·11/2 = 55. 실제로 (1+10)+(2+9)+…=11이 5쌍 = 55, 딱 맞는다.
흔한 오해
Σ(k+1) 은 Σk + 1 이 아니다. 상수 1도 n번 더해지므로 Σk + n 이다. 시그마 안의 모든 항이 n번씩 반복된다는 걸 놓치기 쉽다.
어디에 쓰나
평균·분산 계산, 등차·등비수열의 합, 컴퓨터의 반복 합산, 넓이를 잘게 쪼개 더하는 적분의 씨앗 — '많은 걸 더하는' 모든 곳.
어디서 왔나
합 기호 Σ는 그리스 문자 시그마(합을 뜻하는 sum의 S)를 오일러가 널리 쓰면서 표준이 됐다.
선행 개념
확인 문제
Σₖ₌₁⁵ k 의 값은?
- 10
- 15✓
- 25
- 30
연습
Σₖ₌₁¹⁰⁰ k, 즉 1부터 100까지의 합을 구하라.
정답: 5050
- 공식: n(n+1)/2 에 n=100
- 100·101/2 = 10100/2 = 5050
핵심: 양 끝을 짝지어 더하는 가우스의 방법.
Σₖ₌₁⁴ 3, 즉 3을 네 번 더한 값은?
정답: 12
- 상수의 합: Σc = cn
- 3·4 = 12
핵심: 상수도 항의 개수만큼 더해진다.
Σₖ₌₁⁵ k², 즉 1²+2²+3²+4²+5² 을 구하라.
정답: 55
- 공식: n(n+1)(2n+1)/6 에 n=5
- 5·6·11/6 = 330/6 = 55
핵심: 제곱의 합은 별도 공식을 쓴다.
1부터 20까지의 합 Σₖ₌₁²⁰ k 을 구하라.
정답: undefined
- n=20 대입
- 20·21/2 = 420/2 = 210
핵심: 공식 하나면 몇 개를 더하든 한 번에.