연쇄법칙
“연쇄법칙은 '겉 미분 × 속 미분', 사슬처럼 곱한다.”
수식
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)읽는 법: 겉함수를 (속을 그대로 둔 채) 미분하고, 거기에 속함수의 미분을 곱한다
- g(x)
- — 속함수(안쪽)
- f'(g(x))
- — 겉함수를 미분하되 속은 그대로 둠
- g'(x)
- — 속함수의 미분
이야기의 시작
함수 안에 함수가 들어 있을 때, 미분은 '겉 × 속'으로 흐른다 — 이게 미적분에서 가장 자주 쓰는 규칙이다.
쉬운 말로
합성함수(함수 속의 함수)를 미분하면, 겉함수의 미분에 속함수의 미분을 곱한다.
직관
맞물린 톱니바퀴를 떠올려라. 바깥 바퀴는 안쪽 바퀴 속도의 몇 배로 돈다. 변화율이 사슬처럼 곱해져 전달된다 — 그래서 '연쇄'다.
어떻게 만들어지나
껍질을 벗기듯 바깥부터 미분한다. 겉함수 f를 (속 g는 그대로 둔 채) 미분하고, 속 g가 x에 대해 얼마나 빨리 변하는지(g')를 곱한다.
예시
y=(x²+1)³ 에서 겉은 세제곱(→3u²), 속은 x²+1(→2x). 곱하면 y'=3(x²+1)²·2x = 6x(x²+1)². x=1이면 6·1·4 = 24.
흔한 오해
속함수의 미분 g'을 곱하는 걸 빼먹기 쉽다. 겉만 미분한 3(x²+1)²에서 멈추면 틀린다.
어디에 쓰나
지수·로그·삼각함수가 다른 식과 겹칠 때, 물리의 관련비율(related rates), 신경망의 역전파까지 전부 연쇄법칙.
어디서 왔나
라이프니츠의 dy/dx 표기가 빛나는 곳 — dy/dx = dy/du · du/dx 처럼 분수가 약분되듯 자연스럽게 읽힌다.
선행 개념
확인 문제
y=(3x+1)² 을 미분하면?
- 2(3x+1)
- 6(3x+1)✓
- 6x
- 3(3x+1)²
연습
y=(2x+1)³ 의 x=0 에서 미분값은?
정답: 6
- 겉: 세제곱 → 3(2x+1)² ; 속: 2x+1 → 2
- y'=3(2x+1)²·2 = 6(2x+1)²
- x=0 대입 → 6·1 = 6
핵심: 겉을 미분한 뒤 속의 미분 2를 반드시 곱한다.
y=(x²+1)² 의 x=1 에서 미분값은?
정답: 8
- 겉: 제곱 → 2(x²+1) ; 속: x²+1 → 2x
- y'=2(x²+1)·2x = 4x(x²+1)
- x=1 대입 → 4·1·2 = 8
핵심: 전개 x⁴+2x²+1 미분 4x³+4x, x=1이면 8 — 일치.
y=(5x−2)⁴ 를 연쇄법칙으로 미분하라.
정답: undefined
- 겉: 네제곱 → 4(5x−2)³ ; 속: 5x−2 → 5
- y'=4(5x−2)³·5 = 20(5x−2)³
핵심: 속의 미분(여기선 5)을 곱하는 걸 잊지 말 것.